正数a,b,c满足a+b+c=1 求证:a/bc+b/ac+c/ab+bc/a+ac/b+ab/c≥10
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发布时间：2024-10-08 04:06
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时间：2024-10-08 07:00
公式：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
(1)
当且仅当a=b=c时，等号成立
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(2)
当且仅当a=b=c时等号成立
将
a+b+c=1代入(1)有：abc≤1/27
a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)
利用公式(1)
≥3*[a/(bc)*b/(ac)*c/(ab)]^(1/3)
=3/[(abc)^(1/3)]
≥3/(1/3)=9
(3)
利用公式(2)有：
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2≥abc^2+a^2bc+b^2ac=abc(a+b+c)=abc将abc除过去有
bc/a+ac/b+ab/c≥1
(4)
将(3),(4)两边相加即有：
a/bc+b/ac+c/ab+bc/a+ac/b+ab/c≥9+1=10.
