请问π是什么意思?
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发布时间：2024-10-08 08:18
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时间：2024-10-08 08:58
圆周率是数学中一个无理数，它的值是3.1415926535......是一个无限不循环的小数。圆周率的精确值无法被任何两个整数的除法得到。
然而，有一些近似的方法可以用两个整数的除法来得到一个接近圆周率的近似值。其中最著名的方法是使用阿基米德法。这个方法是由古希腊数学家阿基米德发现的。
阿基米德法是通过将圆内的一个正六边形逐渐逼近于圆，来计算圆的周长和直径的比值。具体步骤如下：
画一个半径为1的圆，并在圆上添加一个正六边形。
将这个正六边形分成6个等边三角形。
计算出一个等边三角形的边长，这个边长即为圆的周长的最小估计值。
重复步骤2和3，将正六边形的边数逐步增加，直到得到一个接近圆周率的近似值。
通过这种方法，可以逐渐得到越来越精确的圆周率近似值，但永远无法得到它的精确值。近似值可以通过计算机算法进行计算，得到更多小数位数的近似值。
π的历史简介
众所周知，π=3.141592653可以说，它是世界上最有名的无理常数了，代表的是一个圆的周长与直径之比或称为“圆周率”。公元前250年左右，阿基米德给出了“圆周率”的估计值在 22371∼227 之间，也即是在 3.140845∼3.142857 之间。
中国南北朝时期的著名数学家祖冲之(429-500)首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“密率与约率”对数学的研究有重大贡献。直到15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才以“精确到小数点后17位”打破了这一纪录。
代表“圆周率”的字母π是第十六个希腊字母的小写。也是希腊语 περιφρεια（表示周边，地域，圆周）的首字母。1706年英国数学家威廉·琼斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“π”来表示圆周率。1736年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也开始用表示圆周率。从此，π便成了圆周率的代名词。
π为什么是常数？
即为什么所有圆的周长和直径之比为一个定值，这一点似乎并不能够自然而然地就得到。因此在寻找这个常数之前，先要做的应当是证明“圆的周长与直径之比确实是一个常数”。
好，既然圆的周长和直径之比是一个常数，下一步要做的就是去寻找这个常数或它的近似值了
在得到圆周率之前，阿基米德当然无法知道一个圆的周长，但是他可以从他知道的开始，比如正方形（实际上他用的是正六边形，为了演示方便，这里从正方形开始）。
对于上图中一个已知直径为1的单位圆（其周长即为），可以以其直径为边长作出其外切正方形，也可以以其直径为对角线作出其内接正方形。不管圆的周长是多少，其总满足大于内接正方形的周长，小于外切正方形的周长。
外切正方形周长：
内接正方形周长根据勾股定理有：
假设现在π的大小未知，我们只能肯定π在2.8到4之间，先取个中间值作为π的估计值，约等于3.4。我们发现这样精度很低，因为用4边形来估算实在是太“粗糙”了，为了提高这种方法的精度，可以用边数更多的正多边形来逼近。
可以看出，到了正八边形时，内接八边形与外切八边形之间的“间隙”比正方形的情况小了。此时 π 的估算值相对于正方形的情况会有一个精度上的提升。但是，现在的问题是：八边形的周长如何计算？而且就算把八边形的周长计算出来了，那16边形、32边形岂不是精度更高，那又该怎么计算？
正多边形逼近
下面需要用到两条基本定理：
定理一：半圆的内接三角形为直角三角形，且直角顶点在圆周上。
定理二：圆的弦所对应的圆周角为其所对应的圆心角的一半。
定理一的证明，证明半圆的内接三角形为直角三角形：
对于上图，令半径为 r 的半圆圆心在坐标原点，三角形的一边为半圆直径，一个顶点 C在半圆的圆周上，坐标为 (X,Y) 。
对于内接多边形：
如下图所示，对于直径为1的圆，设内接多边形的每个边的边长为 Sn ，每个边对应的圆心角为X 。
所以，对于正方形
单位圆内接正方形的周长为：
单位圆外切正方形的周长为：
而对于正八边形
单位圆内接正八边形的周长为：
单位圆外切正八边形的周长为：
因此，对于正n边形
单位圆内接正 n 边形的周长为：
阿基米德那个时代并没有计算器，不像今天，想算 sin或者 tan
为了解决这一棘手的问题，阿基米德发明了一种“迭代算法”：
有以下递推公式：
由此，可以计算外切正 2^n+1 边形的周长 P n+1 ：
以及内接正 2^n+1 边形的周长 P n+1 ：
即
通过递推公式，可以计算得到以下结果：
