如何求指数函数的导数
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发布时间：2024-10-08 10:17
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时间：2024-10-08 15:07
我们有 $f(x) = x^{-1}$，其中 $x \neq 0$。根据导数的定义，导数可以定义为极限：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
将 $f(x) = x^{-1}$ 代入上式，我们得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-1} - x^{-1}}{h}$$
将右边的分式的两项通分，得到：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)}$$
化简上式：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)}$$
化简后，我们可以约去$h$并将极限移到分母上：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$$
取极限：
$$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$$
所以$x$的导数为$-\frac{1}{x^2}$，其中$x \neq 0$。
