细说MIT 8.04 量子力学(8)

发布网友发布时间：2024-10-07 00:31

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热心网友时间：2024-10-20 06:39

在MIT 8.04量子力学的第八部分，我们将深入探讨角动量的本征态和对易性。首先，复习三个关键概念：(1) 当看到[公式] 时，理解为均匀间隔的[公式]，且[公式] 由于算符不共轭，意味着我们不能同时确定这两个算符的本征值；(2) 对于[公式] 的体系，存在同时对应[公式] 和[公式] 的本征函数[公式]，这意味着[公式] 与[公式] 有相同的本征能量；(3) [公式] 揭示了同时本征函数的存在，它告诉我们[公式]，其中[公式] 是Hermitian算符，表明这是对称变换，即旋转或平移不会改变体系的状态。

现在进入3D分析，考虑[公式]。由于[公式] 对易，我们能同时获取粒子在x和y轴的位置。接着，三维薛定谔方程[公式] 随之而来。例如，自由粒子的薛定谔方程[公式] 在分离变量法下，我们得到[公式]，并进一步得出[公式]，这是构建叠加态的基础。

在谐振子问题中，[公式] 和[公式] 表示简并状态，比如取[公式] 时，有多种组合，这源于旋转对称性导致的 degeneracy。[公式] 的组合数随着角量子数n增加而增多，体现了不确定性原理的作用。

在量子力学中，角动量的运算符对应着经典力学中的[公式]，在球坐标系中，我们推导出[公式] 和[公式]。接下来，我们解决定态薛定谔方程，构建角动量本征函数。例如，对于[公式] 的本征函数[公式]，我们得知[公式] 和[公式]，并理解了角动量的升阶和降阶操作。

值得注意的是，只有当角动量算符对易时，它们的本征值才是不变的。通过[公式] 的对易关系，我们确定了角动量的可能值范围。当[公式] 为最大值时，[公式] 的取值范围从[公式] 到[公式]，每一步以1为单位。此外，[公式] 必须是整数或半整数，如[公式]、[公式] 等。

在坐标空间，我们研究了与z轴和赤道夹角相关的本征函数[公式]，它不依赖于[公式]。对于[公式] 的半整数情况，其本征值无法用于物理态的波函数，这*了它们在三维空间粒子描述中的适用性。

最后，针对特殊态（m=l），我们可以通过[公式] 进行“升降”操作，例如[公式] 和[公式]。这部分讨论为理解角动量的量子性质提供了关键步骤。