已知函数f(x)=ex-2x(e为自然对数的底数).(Ⅰ)求曲线f(x)在点(0,f...
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发布时间：2024-10-06 08:41
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时间：2024-10-22 13:36
所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=ex-a．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．
因为M∩P≠?，
所以f（x）＜mx在[12，2]有解，即使f（x）＜mx成立，
即?x∈[12，2]，使m＞ex?2xx成立，
∴m＞ex?2xxmin，
令g（x）min=exx-2，g′（x）=(x?1)e2x2，
∴g（x）在上[12，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）min=g（1）=e-2，
所以m∈（e-2，+∞）．
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时间：2024-10-22 13:34
所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=ex-a．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；
当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．
因为M∩P≠?，
所以f（x）＜mx在[12，2]有解，即使f（x）＜mx成立，
即?x∈[12，2]，使m＞ex?2xx成立，
∴m＞ex?2xxmin，
令g（x）min=exx-2，g′（x）=(x?1)e2x2，
∴g（x）在上[12，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，
则g（x）min=g（1）=e-2，
所以m∈（e-2，+∞）．
