函数幂函数

发布网友发布时间：2024-10-06 11:43

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热心网友时间：2024-12-13 20:04

幂函数的基本形式为y=x^a，其中a为任意实数。对于有理数a，理解起来相对直观。然而，当a取无理数时，可能需要深入理解实数连续统，这在我们的课程中暂不涉及，只需接受其为已知事实。

对于有理数a=p/q，其中p和q为整数，我们可以通过x^(p/q)的表达式理解为x的p次方取q次根。若q为奇数，函数定义域为整个实数集R；若q为偶数，定义域则限定在非负实数[0, +∞)。当n为负整数时，a=-k，函数定义域变为(－∞，0)∪(0,+∞)，由x不能为0和取偶数次根时不能为负数确定。

总结来说，a的不同取值会影响幂函数的定义域：a为任意实数时，定义域为x>0；a为负数时，根据q的奇偶性，定义域可能进一步*为x>0或x≠0。无论a的值，当x>0时，值域总是正实数；x<0时，仅当q为奇数时，值域为非零实数，且当a为正数时，0才会在值域内。

在第一象限，幂函数的特性明显：所有图形都经过点(1,1)。a大于0时，函数单调递增；a小于0时，函数单调递减。当a大于1，图形下凹；0<a<1时，图形上凸。a越小（a<0），图形的斜率越陡。a为正数时，函数过(0,0)；a为负数时，不通过该点。此外，幂函数在整个实数域上无界。

扩展资料

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。