单变量微积分总结
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发布时间：2024-10-06 13:49
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时间：2024-11-22 14:21
导数的基本定义是f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx。例如，对于f(x) = 1/x，其导数可通过定义计算得到：f'(x) = lim(Δx→0) [1/(x+Δx) - 1/x] / Δx = 1/x^2.
对于幂函数f(x) = x^n (n=1, 2, 3...), 采用一般二项式展开，导数为f'(x) = n * x^(n-1)。这一结果可以扩展到负整数n，例如，用链式法则推导出d/dx (1/x) = -n * x^(-n-1)。
求sin和cos的导数是微积分中的难点，涉及proct rule (uv') = u'v + uv' 和quotient rule (u/v') = (u'v - uv') / v^2。关键在于通过differential quotient来证明。
链式法则dy/dt = dy/dx * dx/dt，以及隐函数求导法如y = x^(m/n)，可将导数扩展到有理数n。例如，y=x^a时，dy/dx = a * x^(a-1)。
指数函数和对数函数，如f(x) = e^x，其导数d/dx e^x = e^x。这有助于理解a^x的导数d/dx a^x = ln a * a^x，进而求解像a^1.5这样的问题。
微积分的应用包括线性近似(f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0))和二次近似(f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)/2 * (x-x0)^2)，这些在解决实际问题时是难点。
极值问题和相关速率问题属于曲线描绘的一部分，而牛顿法和平均值定理(MVT)则涉及更复杂的数学概念。微分本身定义为dy = f'(x)dx，而解题实例如求解64.1^(1/3)时，通过微分和换元法展开。
最后，不定积分（antiderivatives）和变量分离法是微积分的进一步扩展，用于求解微分方程。
