证明若A和B属于F,P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B)?
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发布时间：2024-10-06 05:07
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时间：2024-10-06 08:31
- 答：由概率公理知，对于任意的事件E，有$0 \le P(E) \le 1$，即任意事件的概率值非负且不大于1。
考虑事件A和B的关系，可以分成四种情况，分别是：
（1）$A \cap B = \varnothing$，即事件A和B互不相交，此时$A \cup B = A+B$，有
$$P(A \cup B)=P(A \cap B)=P(A)+P(B)$$
等式左侧，$A \cup B$是一个大事件，其概率为1，即$P(A \cup B)=1$，带入等式左侧得：
$$P(A)+P(B)=P(A \cap B)+1$$
移项可得：
$$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-1$$
对于互不相交的事件A和B来说，$A \cap B = \varnothing$，因此左侧等于0，右侧等于$P(A)+P(B)-1$，两者相等，原命题成立。
（2）$A \subseteq B$，即事件A是事件B的子集，此时$A \cup B = B$，因此有
$$P(A \cup B)=P(B)$$
又因为$A \subseteq B$，所以有$A \cap B = A$，得：
$$P(A \cap B)=P(A)$$
带入原等式，有
$$P(A)+P(B)=P(A)+P(B)-P(A)+1$$
整理可得：
$$1=1$$
这是一个恒等式，原命题成立。
（3）$B \subseteq A$，即事件B是事件A的子集，与情况（2）同理，此时也有原命题成立。
（4）$A \cap B
eq \varnothing$且$A
ot\subseteq B$且$B
ot\subseteq A$，即事件A和B互相独立但又有交集。
此时，有
$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
$$P(A)+P(B)=P(A \cap B)+P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
$$P(A)+P(B)=P(A\cap B)+1$$
移项可得：
$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1$$
同理可知，该情况下的命题成立。
综上，无论事件A和B的关系是何种情况，原命题均成立，证毕。
