数学归纳法证明 1²+2²+...+n²=(nn+12n+1)÷6

发布网友发布时间：2024-10-06 07:18

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热心网友时间：2024-10-06 07:49

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法证明
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
移项得：2n^3+3n^2+n=63(1^2+2^2+3^2+....+n^2)
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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