高数中值定理中怎么构造辅助函数
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发布时间：2022-05-07 07:58
共3个回答
热心网友
时间：2023-08-04 01:45
解决本题是需要求一个函数F(x)满足罗尔定理，
并且F的导数是f(x)+xf ' (x)。
F(x)=xf(x)就是。
热心网友
时间：2023-08-04 01:45
此题并非逆推法，而是根据表达式直接积分构造。
f(x)+xf'(x)积分后变为xf(x)+c，因此可以直接构造F(x)=xf(x)并利用罗尔中值定理求解。
由题，F(x)=xf(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导，且F(0)=F(a)=0，符合罗尔中值定理的应用条件，由此可以得到存在t∈(0,a)，使得F'(t)=f(t)+tf'(t)=0，结论得证。
扩展资料：
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
1、在闭区间 [a,b] 上连续；
2、在开区间 (a,b) 内可导；
3、f(a)=f(b)；
则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
其证明如下：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1、若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2、若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
罗尔定理的几何意义：
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理
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时间：2023-08-04 01:46
