【奥数】必胜策略/游戏策略的一些基础例题
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发布时间：2024-10-01 21:29
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时间：2024-10-14 08:39
必胜策略的常见类型和方法（核心解题思想是对称思想）
对称思想
1、白白和胖胖两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚硬币，平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动。谁放的最后一枚使得对方再也找不到地方放下一枚硬币时就赢了。白白每次都先放，并且每次都赢，胖胖输得很郁闷。你能说出白白为什么每次都能赢吗？
提示：将桌面分为如下图所示的四个区域。
白白先在桌面正中间放一枚硬币，然后不管胖胖在哪个区域放硬币，白白就在对称的区域放一枚硬币。如图所示，假设胖胖在左上方放硬币，白白就在右上方同样的位置放硬币，这样最后一个空位一定是白白放的，此时胖胖找不到地方放下一枚硬币，白白赢。
（也可以上下对称，只要对称就行，相当于两个人瓜分剩下面积的1/2，后手的人赢）
2、15个小球排成一排，甲乙两人轮流从中取1个或相邻的2个，如果两球中间有一个空位置，则不能将这两个球同时拿走。谁取走最后一个球谁就获胜，甲先拿，请你为甲设计一个必胜的方案。
提示：先构造对称局面。
甲先拿走中间的小球，余下的14个小球互相对称。然后不管乙从一侧拿走1个或2个小球（由于题目条件的约束，只能从空位置的一侧拿），甲就在另一侧拿走同样数量的小球，这样甲一定可以拿走最后一个球，甲赢。
3、（将上题的直排改成环排）15个小球排成一排，甲乙两人轮流从中取1个或相邻的2个，如果两球中间有一个空位置，则不能将这两个球同时拿走。谁取走最后一个球谁就获胜，甲先拿，谁将获胜？
提示：甲不管取1个还是2个，剩下的球都可以视为直排，然后解法同上
1）假设甲先取走1个球：
剩下14个球视为直排，乙可以通过取走最中间2个球构造对称局面：
然后不管甲从一侧拿走1个或2个小球（由于题目条件的约束，只能从空位置的一侧拿），乙就在另一侧拿走同样数量的小球，这样乙一定可以拿走最后一个球，乙赢。
2）假设甲先取走2个球，同理剩下13个球视为直排，乙可以通过取走最中间1个球构造对称局面：
然后不管甲从一侧拿走1个或2个小球（由于题目条件的约束，只能从空位置的一侧拿），乙就在另一侧拿走同样数量的小球，这样乙一定可以拿走最后一个球，乙赢。
所以环排的情况下，乙将获胜。
4、（可以对上面的题型进行拓展变化但本质一样）100个"-"排成一排，甲乙轮流将"-"改成"+"，每次只能改一个或相邻的两个，谁将最后一个"-"改成"+"就获胜，甲先改，谁将获胜？
提示：思路相同，构造对称。
甲先将最中间的两个-改为+，剩下的98个-构造为对称局面。然后不管乙在一侧改了多少个-，甲就在另一侧改同样数量的-，甲胜。
取最后一个赢的常见题型
1、有两堆棋子，每堆10个，两人轮流行动，每人每次可以从其中一堆取出若干颗。但至少取一颗。取到最后一颗棋子为赢。问谁有必胜策略？
提示：后取的人有必胜策略。不管对方取几颗棋子，自己跟对方取一样数量的棋子，这样对方一定会先取完自己那堆棋子，自己就可以取到最后一颗棋子而获胜。
2、有两堆棋子，一堆18个，另一堆23个，两人轮流行动，每人每次可以从其中一堆取出若干颗。但至少取一颗。取到最后一颗棋子为赢。问谁有必胜策略？
提示：先转化为两堆棋子数量相同的问题，然后就可以用上面的必胜策略求解。
先取的人有必胜策略。先从23各那一堆取走5个，两堆的棋子数量都变为18个，然后不管对方取几颗棋子，自己跟对方取一样数量的棋子，即可获胜。
3、一共有22个苹果，小高和小红两人轮流拿苹果，每人每次可以取1~3个，拿走最后一个苹果的人算赢，如果小高先拿，谁有必胜策略，必胜策略是什么？
提示：可以先用找规律的方法找到周期：（也可以用倒推法进行倒推，见下面拓展题型的第1题）
当有1个苹果的时候小高必胜（拿走1个），
有2个苹果的时候小高必胜（拿走2个），
有3个苹果的时候小高必胜（拿走3个），
有4个苹果的时候小高无法取胜：不管他先拿几个，小红都可以把剩下的全部拿走，
有5~8个苹果同理。
所以在4个苹果为一周期的情况下，要保证自己是后拿的一方、并且跟对方凑成周期数4才能获胜。
22[公式] 4 = 5...2
4个一周期还多了2个，小高有必胜策略：【有余数先手赢】
先拿走2个，剩下20个，然后不管小红拿几个都跟她凑4。
取最后一个赢的拓展题型
1、甲乙两人按顺序轮流报数，每个人只能报1个数或2个数，比如第一个人报1，第二个人可以报2或2、3，第一个人报1、2，第二个人可以报3或3、4，这样继续下去，谁报到30谁就赢。如果甲先报，谁有必胜策略？必胜策略是什么？
提示：可以先考虑最后面几步的情况，进行倒推。
假设甲先报到29，乙报30，乙赢。
假设甲先报到28，乙报29、30，乙赢。
假设甲先报到27，乙只能报28或28、29，甲可以报29、30或30，甲赢。
也就是说甲如果想赢，就要报到27。
继续往前推：
甲如果报到26，乙会报到27，舍。
甲如果报到25，乙会报到26、27，舍。
甲如果报到24，乙只能报25或者25、26，甲必定可以报到27。
以此类推，发现甲要报到27，就要报到24、21、18、……、3。
每3个数为一个回合。
但甲最多只能报到2，报不到3，所以乙有必胜策略。
30[公式] (1+2)=10回合
每一回合不管甲报几，乙跟他凑3即可必胜。【无余数后手赢】
取最后一个输的题型（转输为赢）
1、现有2020根火柴，甲乙两人轮流从中取出火柴。规定甲先取，每人每次至少取1根，最多取4根。谁取到最后1根火柴谁就输。请问谁一定能赢？赢者的必胜策略是什么？
提示：将题目中的“必输”转化为“必胜”，然后用必胜策略解题。
取到最后1根火柴输，也就是取到第2019根火柴赢，这道题可以转化为：
现有2020根火柴，甲乙两人轮流从中取出火柴。规定甲先取，每人每次至少取1根，最多取4根。谁取到第2019根火柴谁就赢。请问谁一定能赢？赢者的必胜策略是什么？
2019[公式] (1+4)=403...4根，甲有必胜策略。【有余数先手赢】
甲先取走4根火柴，然后不管乙取多少根，甲都跟他凑5，最后甲一定能取到第2019根火柴，乙只能取最后一根，甲赢。
2、现在有200个气球。甲乙两人轮流踩气球，每人每次至少踩破1个，最多踩破4个。谁踩破最后一个气球谁就输。如果乙先踩，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
提示：思路同上题，先将“必输”转化为“必胜”。
200-1=199
199[公式] （1+4）=39...4个，乙有必胜策略。【有余数先手赢】
乙先踩破4个气球，然后不管甲踩破几个气球，乙都跟他凑5，最后乙一定能踩到第199个气球，甲只能踩最后一个气球，乙赢。
