纳什均衡专题7:数理经济学中的一般均衡

发布网友发布时间：2024-10-02 06:53

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热心网友时间：2024-11-03 17:42

本讲内容聚焦于应用经济学中的重要原理，特别是围绕一般均衡定理与Gale-Nikaido-Debreu引理展开。首先，深入探讨了1776年亚当·斯密在其著作《国富论》中提出的思想，特别是关于“看不见的手”的概念，斯密并未具体解释这一思想，这一概念后由瓦尔拉斯以“价格体系”来解释，将“公共福利”等同于供需平衡状态。

瓦尔拉斯理论的中心思想是商品供需平衡，假设市场中商品种类为n，价格为p1, p2, ..., pn，瓦尔拉斯认为，每种商品的供需必须相等。然而，商品间的相互关联使得价格并非独立，通过引入价格单纯形的概念，瓦尔拉斯给出了其理论的数学形式。随后，经过进一步的数学证明与严格化，形成了Walras律，该律表述为价格体系的确定性与供需平衡之间的关系。

Walras律指出，市场上的所有商品，只要价格满足上述条件，就必然存在一个价格体系，使得每种商品的需求量不超过供给量，尤其是付费商品的需求量等于供给量。这一价格体系被称为自由配置均衡价格。

接着，引入一般经济均衡定理，该定理表明，在超需映射连续且满足Walras律的条件下，一定存在一个价格体系使得市场达到均衡状态。通过使用Ky Fan不等式、反证法以及变分不等式、KKM引理和Brouwer不动点定理等数学工具，可以证明这一定理的正确性。

进一步，Gale-Nikaido-Debreu引理扩展了Walras律的应用范围，考虑了超需映射为集值映射的情况，通过定义自由配置均衡价格，该引理为证明经济学中的Kakutani不动点定理提供了新的途径。

均衡价格的存在性是经济理论的重要组成部分，根据超需集值映射的上半连续性、弱Walras条件和边界条件的满足，可以得出均衡价格必存在的结论。通过定理Thm 3，可以推导出更一般的定理Thm 4，简化了超需映射的连续性条件，进一步强调了均衡价格的存在性。

最后，简要介绍了Arrow-Debreu模型，模型中消费者和生产者在市场中寻求最优消费与最大利润的策略，以及均衡状态下的经济意义。福利经济学第一定理指出，Arrow-Debreu模型的均衡状态实现了资源的有效配置，是Pareto最优的。