设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=1,f(1)=0. 证明:至少存在一点η,使得η...

我的 设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=1,f(1)=0. 证明:至少存在一点η,使得ηf'(η 20 设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=1,f(1)=0.证明:至少存在一点η,使得ηf'(η)+3f(η)=0... 设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=1,f(1)=0.证明:至少存在一点η,使得ηf'(η)+3f(η)=0 展...

考察 g(x) = x^3 f(x)因为 g(0) = g(1) = 0，所以存在 η∈(0,1)，使得：g'(η) = (g(1) - g(0)) / (1 - 0) = 0 而 g'(η) = η^3 f'(η) + 3η^2 f(η) = η^2 (η f'(η) + 3 f(η))因为 η^2 ≠ 0，所以 η f'(η) + 3 f(η) ...

F(1)=f（1）-1=-1<0 所以在（1/2,1）之间至少存在一点x1使得F（x1）=0 再根据罗尔定理 F（0）=f（0）=0 F（x1）=0 所以在（0，x1）之间至少存在一点使得F‘（x'）=0 即至少存在一点使得f‘（x’）=1

构造g(x)=f(x)*x^2 则：g(0)=g(1)=0 由Rolle定理 所以存在0<m<1使得：g'(m)=0 即 g'(m)=f'(m)m^2+f(m)2m=0 即 f'(m)=-2f(m)/m

解：令F(X)=Xf(x),F(1)=1*f(1)=0，F(0)=0*f(0)=0.且F(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导.满足罗尔中值定理的条件，故存在ζ使得,F′(ζ)=0，F'(X)=f(x)+Xf'(x).故f(ζ)+ζf′(ζ)=0。所以f′(ζ)=-2f(ζ)/ζ。证毕。

由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0 则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可导 由拉格朗日中值定理得 存在x1∈[0,a],x2...

设g(x)=x*f(x),g'(x)=x*f'(x)+f(x),g(0)=g(1)=0,根据微分中值定理，（0,1）内存在一点n,使g'(n)=[g(1)-g(0)]/(1-0)=0,即n*f'(n)+f(n)=0,移项得f'(n)=-f(n)/n

证：构造函数F(x)=xf(x)F(0)=0·f(0)=0，F(1)=1·f(1)=1·0=0 F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)由罗尔中值定理，在(0，1)内，至少存在一点ξ，使得：F'(ξ)=[F(1)-F(0)]/(1-0)=(0-0)/(1-0)=0 f(ξ)+ξf'(ξ)=0 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ ...

由f(x)不恒等于x, 存在c∈(0,1), 使f(c) ≠ c.若f(c) < c, 在[c,1]上由Lagrange中值定理得:存在ξ∈(c,1)使f'(ξ) = (f(1)-f(c))/(1-c) = (1-f(c))/(1-c) > (1-c)/(1-c) = 1.若f(c) > c, 在[0,c]上由Lagrange中值定理得:存在ξ∈(0,c)使f...

证明：令F（x）=xf（x），由题意F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且F（0）=0，F（1）=0，由罗尔定理可知在（0，1）内至少存在一点ξ，使F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，所以，在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′(ξ)＝?f(ξ)ξ．