...中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE). (1)△AEF与△EFC是否...
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发布时间：2024-10-01 19:08
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热心网友
时间：2024-10-17 16:07
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵ E是AD的中点，
∴ AE＝ED．
∵ ∠AEF＝∠DEG，
∴ △AFE≌△DGE．
∴ ∠AFE＝∠DGE．
∴ E为FG的中点．
又 CE⊥FG，
∴ FC＝GC．
∴ ∠CFE＝∠G．
∴ ∠AFE＝∠EFC．
又 △AEF与△EFC均为直角三角形，
∴ △AEF∽△EFC．
① 存在．
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝ ＝ 时，△AEF∽△BCF．
证明：当 ＝ 时， ＝ ，
∴ ∠ECG＝30°．
∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．
又 △AEF和△BCF均为直角三角形，
∴ △AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，
∴ ∠BCF≠∠AFE．
∴ 不存在第二种相似情况．
（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件；
（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的；
当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值
热心网友
时间：2024-10-17 16:10
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵ E是AD的中点，
∴ AE＝ED．
∵ ∠AEF＝∠DEG，
∴ △AFE≌△DGE．
∴ ∠AFE＝∠DGE．
∴ E为FG的中点．
又 CE⊥FG，
∴ FC＝GC．
∴ ∠CFE＝∠G．
∴ ∠AFE＝∠EFC．
又 △AEF与△EFC均为直角三角形，
∴ △AEF∽△EFC．
① 存在．
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝ ＝ 时，△AEF∽△BCF．
证明：当 ＝ 时， ＝ ，
∴ ∠ECG＝30°．
∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．
又 △AEF和△BCF均为直角三角形，
∴ △AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，
∴ ∠BCF≠∠AFE．
∴ 不存在第二种相似情况．
（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件；
（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的；
当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值
