求曲面积分ffz(x^2+y^2+z^2)^1/2dxdy,其中E是以原点为中心,R为半径的...
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发布时间：2024-10-01 19:14
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时间：2024-10-17 13:02
原式 I = ∯<∑+∑1>√(x^2+y^2+z^2)dxdy - ∫∫<∑1>√(x^2+y^2+z^2)dxdy
前者用高斯公式， 后者 z = 0，则
I = -∫∫∫<Ω>zdxdydz/√(x^2+y^2+z^2) +∫∫<x^2+y^2≤R^2>√(x^2+y^2)dxdy
= -∫<π/2, π>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, R>cosφ r^2sinφdr
+∫<0, 2π>dt∫<0, R>ρ ρdρ
= (2π/3)[ρ^3]<0, R> - 2π∫<π/2, π>cosφsinφdφ∫<0, R>r^2dr
= (2π/3)R^3 - π[(sinφ)^2]<π/2, π> [r^3/3]<0, R>
= (2π/3)R^3 + πR^3/3 = πR^3
