为什么∫(- x/ x) dx=0不可积?
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发布时间：2024-10-02 14:49
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时间：2024-10-03 15:11
习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数
∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx
∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b)
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以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,
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下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0）
因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0）
显然：
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）
I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0）
=-1/(1+x^2)
从而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)
即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)
对（1）式两端取极限：
lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是（1）式为
I(x）=-arctan(x)+π/2
limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2
因为sinx/x是偶函数,所以
∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞）
=π
