通信入门系列——离散卷积、连续卷积、卷积性质

发布网友发布时间：2024-10-02 14:33

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热心网友时间：2024-10-09 19:58

通信入门系列：深入解析离散与连续卷积及其性质

线性系统中，输入信号（激励）与输出信号（响应）的互动是关键概念。离散卷积与连续卷积是描述这种关系的重要工具。

首先，离散世界中的“δ”信号，即离散冲激序列，其公式表示为一个在特定时刻等于1，其余时刻为0的序列。卷积运算是通过将输入信号x[n]与系统冲激响应h[n-k]相乘并求和得到输出y[n]，即y[n] = x[n]*h[n]。理解这个过程，就像两个脉冲信号的叠加，第一个脉冲对应x[n]h[n]，第二个脉冲在k位置则对应x[k]h[n-k]。

连续卷积涉及连续信号，如冲激函数δ(t)。它通过将输入信号近似为阶梯信号，每个小段信号的输出与系统特性h(t)结合，得出连续信号的响应。当阶梯宽度趋近于零，就得到连续卷积的定义，y(t) = ∫x(τ)dτ × h(t-τ)。

卷积运算具有基本性质：交换律、分配律和结合律。交换律意味着x[n]*h[n] = h[n]*x[n]，分配律则表明(x[n]+x'[n])*h[n] = x[n]*h[n] + x'[n]*h[n]，结合律保证了(x[n]*x'[n])*h[n] = x[n]*(x'[n]*h[n])。

最后，与冲激函数卷积是理解系统特性的关键，它揭示了系统对任何输入信号的响应方式。通过卷积，我们能深入理解信号通过系统后的响应行为。