...AC上的点,且ED//BC,O为DC中点,连结EO并延长交BC的延长线于点F,则有...

发布网友发布时间：2024-10-02 16:04

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热心网友时间：2024-10-09 19:56

（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；（2）10.

试题分析：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S △ MON 最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
（2）①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N，由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S 四边形OANM =S △ OAD -S △ MND .
②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，利用S 四边形OCMN =S △ OCT -S △ MN T，进而得出答案．
试题解析：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小.
如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
可以得出当P是MN的中点时S 四边形MOFG =S △ MON ．
∵S 四边形MOFG ＜S △ EOF ，∴S △ MON ＜S △ EOF .
∴当点P是MN的中点时S△MON最小.

（2）分两种情况：
①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N．
延长OC、AB交于点D，易知AD = 6，S △ OAD ＝18 ．
由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．
过点P、M分别作PP 1 ⊥OA，MM 1 ⊥OA，垂足分别为P 1 、M 1 ．
由题意得M 1 P 1 =P 1 A = 2，从而OM 1 =MM 1 = 2．又P(4,2)，B(6,3)
∴P 1 A=M 1 P 1 ="O" M 1 =P 1 P=2，M 1 M=OM=2，可证四边形MM 1 P 1 P是正方形．
∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S △ MND ＝8.
∴ .
② 如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．
延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y =－x＋9 ．
则T点的坐标为（9，0）．
∴S △ OCT = ×9× = ．
由(1)的结论知：当PM=PN时，△MNT的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．
过点P、M点分别作PP 1 ⊥OA，MM 1 ⊥OA，垂足为P 1 ，M 1 .
从而 NP 1 =P 1 M 1 ，MM 1 =2PP 1 =4．
∴点M的横坐标为5，点P（4、2），P 1 M 1 = NP 1 = 1，TN =6．
∴S △ MNT = ×6×4=12，S 四边形OCMN =S △ OCT -S △ MNT = -12= ＜10．
综上所述：截得四边形面积的最大值为10．