已知向量a+b+c=0向量,向量a的模为3,向量b的模为5,向量c的模为7

发布网友发布时间：2024-10-02 09:12

共2个回答

热心网友时间：2024-11-30 06:27

(1)直接用字母a表示向量a,<a,b>表示向量a,b之间的夹角。
因为 a+b+c=0, 所以 a+b=-c, 从而有 (a+b)^2=c^2. 注意到
(a+b)^2
=a^2+b^2+2ab
=|a|^2+|b|^2+2ab (由|a|=3,|b|=5)
=3^2+5^2+2ab
=34+2ab
而 c^2=|c|^2=49, 所以由 (a+b)^2=c^2 即得：34+2ab=49, 可以解出 ab=15/2.
从而由 ab=|a||b|cos<a,b> 可知 cos<a,b>=ab/(|a||b|)=(15/2)/15=1/2.
注意夹角的取值范围即可得知 <a,b>=60度。即向量a,b之间的夹角为60度。

(2)如果存在实数c(注意这里的实数c与(1)中的向量c是不同的)使得ca+b与a-2b垂直，即(ca+b)(a-2b)=0, 则有
(ca+b)(a-2b)
=ca^2+(1-2c)ab-2b^2 (a^2=9,b^2=25,由(1)知ab=15/2)
=9c+(1-2c)*(15/2)-50
=-6c-85/2
=0
由此可以解出 c=-85/12. 即存在常数c=-85/12使得ca+b与a-2b垂直。

热心网友时间：2024-11-30 06:28

1).
∵a+b=-c, ∴平方得到： |a|²+|b|²+2|a||b|*cos<a,b>=|c|²
即9+25+2*3*5 *cos<a,b>=49====>cos<a,b>=1/2
∴向量a和向量b的夹角为60º
2).
∵ca+b与a-2b垂直 ∴(ca+b)(a-2b)=0
===> ca²-2b²+(1-2c)|a||b|cos60º=0
===> 9c-50+(1-2c)*15/2=0
===> c=-85/12