...^2+y^2/b2=1中,OA垂直OB,求三角形OAB面积的最大值和最小值。_百度...
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发布时间：2024-10-04 15:08
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时间：2024-10-07 15:35
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线 OAOB方程分别：
y=kx,y=-x/k,
OA与椭圆交点
x^2/a^2+k^2*x^2/b^2=1
(a^2*k^2+b^2)x^2=a^2*b^2
即x1^2=a^2*b^2/(a^2*k^2+b^2),
y1^2=k^2*a^2*b^2/(a^2*k^2+b^2)
OA^2=x1^2+y1^2
=a^2*b^2(1+k^2)/(a^2*k^2+b^2)
同理解得(B坐标只需要A坐标k换-1/k 即得,OB平方只需要OA平方k换-1/k即）
OB^2=a^2*b^2(1+k^2)/(a^2+k^2*b^2)
OA^2*OB^2= (ab)^4*(1+k^2)^2/[(a^2+k^2*b^2)(a^2*k^2+b^2)]
=(ab)^4*(1+k^2)^2/[a^2*b^2+(a^4+b^4)k^2+a^2*b^2k^4]
=(ab)^4*(1+k^2)^2/[(1+k^2)^2*a^2*b^2+(a^2-b^2)^2*k^2]
=(ab)^4/[(ab)^2+(a^2-b^2)k^2/(1+k^2)^2]
≤a^2*b^2
S⊿AOB=(1/2)OA*OB≤ab/2.
