数学:均值不等式题```大虾``进

发布网友发布时间：2024-10-04 18:10

共2个回答

热心网友时间：2024-11-28 17:10

饿饿靠墙吖

1.设长x宽y
2y+x=L
2y+x≥2√2xy
2√2xy≤L
xy≤1/8L^2
当且仅当x=y=√2/4L时取最大

2.设矩形长x宽y
x^2+y^2=d^2
矩形面积=xy

x^2+y^2≥2xy
即
d^2≥2xy
xy≤1/2d^2
当且仅当x=y时不等式取最值
正方形

热心网友时间：2024-11-28 17:11

te007的方法简单 ,应用高中的不等式。我这是初中做法呵呵

1
设矩形长x米，宽y米
则2y+x=L
即x=L-2y
面积xy=（L-2y）y=Ly-2y^2
结合二次函数图像，当y=L/4时xy有最大值为L^2/8

2
设内接矩形长x，宽y
因圆直径为d，根据勾股定理，x^2+y^2=d^2即y^2=d^2-x^2,y=√（d^2-x^2）
矩形面积xy=x√（d^2-x^2）=√x^2（d^2-x^2）
换元另t=x^2
则xy=√（td^2-t^2）
只考查根号下的td^2-t^2，结合二次函数图像，可知当t=d^2/2时，td^2-t^2有最大值，最大值为d^2/4
所以xy=√（td^2-t^2）最大值为√（d^2/4）=d/2
此时x^2=t=d^2/2，即x=二分之根号2×d，代入可得y=二分之根号2×d
所以 x=y
得证