在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是AD中点,MN⊥AD交BC的延长线于N,求证...

发布网友发布时间：2024-10-04 18:21

共4个回答

热心网友时间：2024-10-07 16:19

连结AN
∵M是AD中点，MN⊥AD
∴AM=DM,∠AMN=∠DMN
∵MN=MN
∴⊿AMN≌⊿DMN(SAS)
∴AN=DN,∠MAN=∠MDN
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD+∠MAN=∠CAD+∠MDN
即∠BAN=∠ACN
∵∠ANB=∠CNA
∴⊿ABN∽⊿CNA
∴BN/AN=AN/CN
∵DN=AN
∴BN/DN=DN/CN
即DN²=BN·CN

热心网友时间：2024-10-07 16:24

证明：连AN,
因为MN⊥AD，M是AD的中点
所以MN是AD的垂直平分线
所以AN=DN,
所以∠ADN=∠DAN
因为在△ABD中，∠ADN=∠B+∠BAD,
∠DAN=∠CAN+∠DAC
所以∠B+∠BAD=∠CAN+∠DAC
因为AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠CAD
所以∠B=∠CAN
又∠ANB=∠CNA(公共角)
所以△ACN∽△BAN
所以AN/BN=CN/AN
所以AN^2=BN*CN
因为AN=DN
所以DN²=BN·CN
分析：看到平方，改成比例式，找相似三角形是解题的关键

热心网友时间：2024-10-07 16:19

证明：连接AN
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵M是AD中点，MN⊥AD
∴MN垂直平分AD
∴AN＝DN
∴∠NAD＝∠NDA
∵∠NAD＝∠NAC+∠CAD，∠NDA＝∠B+∠BAD
∴∠NAC＝∠B
∴∠BNA＝∠ANC
∴△ABN∽△CAN
∴AN/BN＝CN/AN
∴AN²=BN·CN
∴DN²=BN·CN

热心网友时间：2024-10-07 16:24

连接AN
角ADC=角ABC+角BAD
角ADC=角DAN （垂直，平分可证）
角DAN=角DAC+角CAN
所以角ABC=角CAN
因为角BNA=角ANC
所以三角形BNA相似于三角形ANC
所以 BN比AN=AN比CN
AN=DN（垂直，平分可证）
原题可证
关键是将乘积平方关系换成比例关系
证比例关系去找相似三角形