COMSOL - PDE的弱形式(Weak Form PDE)
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发布时间：2024-10-11 07:13
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时间：2024-11-13 16:13
本文旨在介绍如何使用 COMSOL 中的弱形式 PDE 模块来求解小形变线弹性问题，同时结合 MATLAB Livelink 来简化输入过程。首先，理解 PDE 的弱形式是有限元方法的核心，COMSOL 的各种模块在求解问题时，均会将其转化为弱形式进行求解。使用弱形式 PDE 模块，我们可以实现与固体力学模块相同的功能，但通过自定义变量，避免了在图形用户界面（GUI）中手动输入带来的繁琐和可能的错误。
弱形式 PDE 模块包含三个子节点：Weak form PDE、Zero flux 和 Initial values。Weak form PDE 子节点需要填写 Weak expression，即 PDE 弱形式中的体积分部分。COMSOL 提供了 test operator，用于表示试函数及其偏导。通过 test operator 和 COMSOL 的语法，我们可以将 PDE 弱形式中的体积分表达式展开为多项式，例如：
将 [公式] 表达式使用 COMSOL 语法展开为多项式，如下所示（适用于三维问题）：
展开后的表达式为：[公式]
在求解小形变线弹性问题时，应力张量和应变张量可以通过位移偏导定义。COMSOL 提供了变量（variable）功能，用于定义这些张量的分量。对于更复杂的表达式，可以使用 MATLAB Livelink 代码自动生成变量和 Weak expression，极大提高了效率。如果使用 MATLAB Livelink，可以创建新的 MPH 模型文件，并自动将所有变量和 Weak expression 插入其中。需要注意的是，需要拥有 COMSOL MATLAB Livelink 许可证才能使用此功能。如果没有，可以在 MATLAB 中使用 for loop 手动创建 txt 文档，然后将文档导入 COMSOL。
Zero flux 子节点是 COMSOL 的默认边界条件，不能修改，但可通过添加新的边界条件覆盖它。对于固体力学问题，常用的边界条件包括 Dirichlet Boundary Condition（用于约束位移）和 Flux/Source（用于施加边界负载）。COMSOL 固体力学模块包含 Prescribe displacement 和 Boundary load 两种边界条件，通过添加 Dirichlet Boundary Condition 或 Flux/Source 可以定义相应的边界条件。
Initial values 子节点用于定义瞬态问题中的待解独立变量的初始值，本文主要考虑稳态问题。使用弱形式 PDE 模块与 COMSOL 的固体力学模块计算相同线弹性问题时，若无误，则应得到相同结果。
在 MATLAB Livelink 中，可以使用附带的代码自动构建求解线弹性问题的模型。代码中包含了详细的注释，便于理解。拥有 COMSOL MATLAB Livelink 许可证的用户，通过点击 'COMSOL with Matlab' 打开 MATLAB 并运行代码即可。直接在 MATLAB 中运行代码可能会出现错误。使用该代码，可以创建一个简化版的固体力学模块，以供进一步比较和验证。
