高中数学复合函数定义域问题

发布网友 发布时间：2024-10-12 01:15

我来回答

共7个回答

热心网友 时间：2024-10-12 10:58

由于是复合函数定义域可以令1/x=g(x)
原函数=f(g(x))其中x≠0是g(x)的定义域.而x≠-1为f(x)的定义域
两者共同为复合函数f(g(x))的定义域
所以单独说f(x)的定义域只有x≠-1

热心网友 时间：2024-10-12 10:54

令1/x=y, x=1/y
f(y)=1/(1/y+1)=y/(y+1)
所以 f(x)=x/(x+1)
定义域: x+1≠0, x≠-1

而原式中的1/x只能看作一个变量而已, 我们不是求f(1/x)的定义域,而是f(x)的定义域

热心网友 时间：2024-10-12 10:52

f(1/x)由f(u)与u=1/x复合而成，这两个函数能够复合的条件是u=1/x的值域包含于f(u)的定义域，由f(1/x)=x/(x+1)可知x≠-1，x≠0，那么u=1/x的值域是{u|u≠-1,u≠0}。所以f(u)的定义域包含集合{u|u≠-1,u≠0}，那么f(u)的定义域可能是{u|u≠-1,u≠0}，也可能是{u|u≠-1}，或者{u|u≠0}，或者整个实数集。
又u=1/x知x=1/u，所以f(1/x)=1/(x+1)变成了f(u)=1/(1/u+1)=u/(1+u)，最后一个式子有意义的范围是u≠-1。虽然过程中要求u≠0，但从最后结果来看，f(0)也可以有意义，也就是说f(0)可以存在，f(-1)肯定不能存在。在复合f(1/x)时，只是用到了x≠0时f(x)的表达式，与f(0)无关。
所以，像这种题目，f(x)的定义域一般都是从最后得到的式子来看，使得式子有意义的自变量的范围就是函数的定义域。

热心网友 时间：2024-10-12 10:57

f（1/x）=1/（x＋1）f（1/x）的定义域是｛x|x≠-1且x≠0｝,所以1/x≠-1也≠0，
令1/x=t，还原函数的标准形式，标准形式f(t)中t的定义域就是函数f(x)中x的定义域
∵1/x=t
∴x=1/t ，代入符合函数表达式f（1/x）=1/（x＋1）中得
f(t)=1/(1/t+1)
=1/[(1+t)/t]
=t/(1+t)
函数的定义域与自变量的形式无关。即f(t)=t/(1+t)和函数f(x)=x/(1+x)是同一个函数，
所以符合函数的原函数是f(x)=x/(1+x)，定义域为1+x≠0，即x不等于-1；

热心网友 时间：2024-10-12 10:58

f（1/x）=1/（x＋1）中，x不等于0只是1/x的要求，不是f（x）的要求。

例如f（x）=x²
那么f（1/x）=1/x²
对于f（1/x）=1/x²而言，x≠0，但是对于f（x）=x²这个函数而言x当然可以等于0。但是1/x不可能等于0，那是1/x的值域问题，并不是f（x）=x²这个函数的问题，就f（x）=x²这个函数而言，它的自变量完全允许取0这个点。
你的错误就在于把复合函数的定义域和复合函数的外层函数式的定义域搞混淆了。

热心网友 时间：2024-10-12 10:52

换元法得到的最终表达式是f（y）=y/（1+y），也就是f（x）=x/(1+x)，1+x不能为0，即x不能为-1，这是最终表达式，当y=1/x时，考虑的是y不能没有意义，故x不能为零！f（1/x）=1/（x＋1）只是f（x）=x/(1+x)的一种情况，因此定义定义域的时候前者的满足条件只会比后者更加苛刻。不知道这样解释明白吗？！

热心网友 时间：2024-10-12 10:53

把1/x代入f(1/x)=1/(x+1)，得f(x)=x/(x+1)，应该是根据这个求定义域的