为什么d⊃2;y/dx⊃2;表示二阶导数

发布网友 发布时间：2024-10-08 19:21

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热心网友 时间：2024-10-17 20:44

该问题问得很好,值得认真考虑一下.首先搞清d²y/dx²的含义，如果设y=f(x),则做为一个整体的符号d²y/dx²表示f(x)的2阶导数，由dy/dx表示f(x)的1阶导数,故
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
如果将d²y/dx²看成d(dy/dx)/dx的缩写形成，估计并没有解决你的疑惑，为什么将d(df/dx)/dx写成d²y/dx²而不写成d²y/d²x或dy²/d²x呢？
正象1阶导数dy/dx一样,整体上表示了y=f(x)的1阶导数,另外它也可以看为一个通常意义下的分式,即1阶导数表示为两个微分dy与dx的比值,1阶导数是两个变元微分的比，d表示函数微分的符号,dy表示函数的微分,一个函数的微分定义为它的1阶导数乘以自变元的改变量,如果y=f(x),x是自变元，则dy=f′(x)△x,x可看成其自身的函数,此时dx=△x,则有dy=f′(x)dx,这样用dy/dx表示1阶导数f′(x)是方便的,df/dx可做为分数进行运算,并具有所谓的微分的不变性,如果x不是自变元,它又是t的函数x=g(t),则dx=g′(t)dt,此时
dy/dx=( f′(x)dx)/dx=( f′(x)g′(t)dt)/ (g′(t)dt)= f′(x)，
dy/dt= (dy/dx)×(dx/dt)
该式左边整体上表示了y对t的导数，由求导的链式法则可知dy/dt= f′(x)g′(t),这也恰好等于右边.

现在来回答你的问题,2阶导数d²y/dx²能否象1阶导数dy/dx看成一个通常分式呢？它的分子分母是否有独立的意义？如果有独立意义,各代表什么含义,如果没有独立意义为什么要写成这种形式？下面给出肯定的回答,2阶导数d²y/dx²象1阶导数dy/dx一样其分子分母具有独立的意义,分子中的 d²y=d(dy)表示函数y的微分的微分(称为2阶微分),由微分定义d²y表示dy的导数乘以自变元的微分,dy=f′(x)dx,故
d²y=d(f′(x)dx)= (f′(x)dx) ′dx= (f″(x)dx+f′(x)(dx)′)dx
如果x是自变元,则(dx)′=0,故上式化为
d²y=d(f′(x)dx)=(f″(x)dx)dx= f″(x)(dx)2
由此得 d²y/(dx)2= f″(x)
从而可看出f″(x)=d²y/(dx)2,即y对x的2阶导数等于y的微分的微分比上x的微分的平方,即d²y/dx²中分子代表d²y=d(dy),即d²y表示函数y的微分的微分(2阶微分),分母代表dx²=(dx)2,即x微分的平方，提请注意的是dx²不表示为x2的微分,更不表示为x的微分的微分.
从上面可看出d²y/dx²表示f(x)的2阶导数并不是任意规定的，不过这种表示法仅当x是自变元时,d²y/(dx)2才表示y对x的2阶导数,当x不是自变元时,该式d²y/dx²就不等于y对x的2阶导数了，2阶导数d²y/dx²这种表示不具有所谓的微分的不变性。
例y=x3+2x+5, y的1阶导数y′=3x2+2, y的2阶导数y″=6x,
y的1阶微分dy=(3x2+2)dx,
y的2阶微分d(dy)=((3x2+2)dx)′dx=(6xdx)dx=6x(dx)2,
故d(dy)/(dx)2=6x=y″.

http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/9e89ad0669b6e8de7a894766.html?timeStamp=1295500128718

参考资料：数学分析原理第一第一分册183

热心网友 时间：2024-10-17 20:44

d^2 y = d(dy) 表示dy的微分，也就是二阶微分。
dx^2 = (dx)^2 确实是表示微分形式dx的平方，也是一个二阶量。

d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) d(dx) = f''(x)(dx)^2 + f'(x) d(dx)
由于dx可以看作是x的增量，和x本身无关，所以d(dx)=0，这样就得到了
d^2 y = f''(x) dx^2，
也可以把二阶导数f''(x)看作d^2 y和dx^2的商。

不过要注意，二阶微分没有形式不变性，不能直接用于中间变量。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶微分表示为dy/dx，dy、dx表示y和x的无穷小量，d是微分符号表示对谁进行微分运算，对一阶微分再进行一次微分：也就是d（dy/dx)/dx可以写成d/dx×dy/dx，中间那个是乘号不是x，写的再紧凑简单点就是d2y/dx2。这里的2没有幂的含义，只是表示微分阶数，一阶微分是1所以就省略了，三阶微分就写作d3y/dx3。如果是三变量，dy/dx还可以对另一变量求微分，也就是二阶偏导，写作?2y/(?x?y)，这里?就是d的意思，因为是偏导所以用这个写，读作“嚷”。不知讲明白了没有。如果还不明白建议你去借一本高等数学上册（好像是同济大学出的）看看，那里面有严格的证明和推导。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶导数y'=dy/dx,
二阶导数y'=d(dy/dx)/dx=d²y/dx²,
d²y不能写作（dy）²,dy前面还有个d,故写成d²y,dx是两次作除数，故dx².
补充：不是d(x²),这样就变成了2dx,应是（dx)².
对于偏导数，上、下是不能分离的，而对于全导数可视作上下比的关系。

热心网友 时间：2024-10-17 20:46

这只是个符号而已，要解释的话也可以的
一阶导数dy/dx也称为微商，而二阶导数则是对一阶导函数再求一次导
也就可以写为d（dy/dx）/dx，也就是我们通常用的表达d2y/dx2

当然了，也可以这样理解将一阶导数为d/dx作用于y
那么二阶导数也就是对y进行2次求导运算“d/dy”的结果

总之呢，这只是个符号，不要太纠结它~~~

热心网友 时间：2024-10-17 20:44

该问题问得很好,值得认真考虑一下.首先搞清d²y/dx²的含义，如果设y=f(x),则做为一个整体的符号d²y/dx²表示f(x)的2阶导数，由dy/dx表示f(x)的1阶导数,故
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
如果将d²y/dx²看成d(dy/dx)/dx的缩写形成，估计并没有解决你的疑惑，为什么将d(df/dx)/dx写成d²y/dx²而不写成d²y/d²x或dy²/d²x呢？
正象1阶导数dy/dx一样,整体上表示了y=f(x)的1阶导数,另外它也可以看为一个通常意义下的分式,即1阶导数表示为两个微分dy与dx的比值,1阶导数是两个变元微分的比，d表示函数微分的符号,dy表示函数的微分,一个函数的微分定义为它的1阶导数乘以自变元的改变量,如果y=f(x),x是自变元，则dy=f′(x)△x,x可看成其自身的函数,此时dx=△x,则有dy=f′(x)dx,这样用dy/dx表示1阶导数f′(x)是方便的,df/dx可做为分数进行运算,并具有所谓的微分的不变性,如果x不是自变元,它又是t的函数x=g(t),则dx=g′(t)dt,此时
dy/dx=( f′(x)dx)/dx=( f′(x)g′(t)dt)/ (g′(t)dt)= f′(x)，
dy/dt= (dy/dx)×(dx/dt)
该式左边整体上表示了y对t的导数，由求导的链式法则可知dy/dt= f′(x)g′(t),这也恰好等于右边.

现在来回答你的问题,2阶导数d²y/dx²能否象1阶导数dy/dx看成一个通常分式呢？它的分子分母是否有独立的意义？如果有独立意义,各代表什么含义,如果没有独立意义为什么要写成这种形式？下面给出肯定的回答,2阶导数d²y/dx²象1阶导数dy/dx一样其分子分母具有独立的意义,分子中的 d²y=d(dy)表示函数y的微分的微分(称为2阶微分),由微分定义d²y表示dy的导数乘以自变元的微分,dy=f′(x)dx,故
d²y=d(f′(x)dx)= (f′(x)dx) ′dx= (f″(x)dx+f′(x)(dx)′)dx
如果x是自变元,则(dx)′=0,故上式化为
d²y=d(f′(x)dx)=(f″(x)dx)dx= f″(x)(dx)2
由此得 d²y/(dx)2= f″(x)
从而可看出f″(x)=d²y/(dx)2,即y对x的2阶导数等于y的微分的微分比上x的微分的平方,即d²y/dx²中分子代表d²y=d(dy),即d²y表示函数y的微分的微分(2阶微分),分母代表dx²=(dx)2,即x微分的平方，提请注意的是dx²不表示为x2的微分,更不表示为x的微分的微分.
从上面可看出d²y/dx²表示f(x)的2阶导数并不是任意规定的，不过这种表示法仅当x是自变元时,d²y/(dx)2才表示y对x的2阶导数,当x不是自变元时,该式d²y/dx²就不等于y对x的2阶导数了，2阶导数d²y/dx²这种表示不具有所谓的微分的不变性。
例y=x3+2x+5, y的1阶导数y′=3x2+2, y的2阶导数y″=6x,
y的1阶微分dy=(3x2+2)dx,
y的2阶微分d(dy)=((3x2+2)dx)′dx=(6xdx)dx=6x(dx)2,
故d(dy)/(dx)2=6x=y″.

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热心网友 时间：2024-10-17 20:44

d^2 y = d(dy) 表示dy的微分，也就是二阶微分。
dx^2 = (dx)^2 确实是表示微分形式dx的平方，也是一个二阶量。

d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) d(dx) = f''(x)(dx)^2 + f'(x) d(dx)
由于dx可以看作是x的增量，和x本身无关，所以d(dx)=0，这样就得到了
d^2 y = f''(x) dx^2，
也可以把二阶导数f''(x)看作d^2 y和dx^2的商。

不过要注意，二阶微分没有形式不变性，不能直接用于中间变量。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶微分表示为dy/dx，dy、dx表示y和x的无穷小量，d是微分符号表示对谁进行微分运算，对一阶微分再进行一次微分：也就是d（dy/dx)/dx可以写成d/dx×dy/dx，中间那个是乘号不是x，写的再紧凑简单点就是d2y/dx2。这里的2没有幂的含义，只是表示微分阶数，一阶微分是1所以就省略了，三阶微分就写作d3y/dx3。如果是三变量，dy/dx还可以对另一变量求微分，也就是二阶偏导，写作?2y/(?x?y)，这里?就是d的意思，因为是偏导所以用这个写，读作“嚷”。不知讲明白了没有。如果还不明白建议你去借一本高等数学上册（好像是同济大学出的）看看，那里面有严格的证明和推导。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶导数y'=dy/dx,
二阶导数y'=d(dy/dx)/dx=d²y/dx²,
d²y不能写作（dy）²,dy前面还有个d,故写成d²y,dx是两次作除数，故dx².
补充：不是d(x²),这样就变成了2dx,应是（dx)².
对于偏导数，上、下是不能分离的，而对于全导数可视作上下比的关系。

热心网友 时间：2024-10-17 20:46

这只是个符号而已，要解释的话也可以的
一阶导数dy/dx也称为微商，而二阶导数则是对一阶导函数再求一次导
也就可以写为d（dy/dx）/dx，也就是我们通常用的表达d2y/dx2

当然了，也可以这样理解将一阶导数为d/dx作用于y
那么二阶导数也就是对y进行2次求导运算“d/dy”的结果

总之呢，这只是个符号，不要太纠结它~~~

热心网友 时间：2024-10-17 20:44

该问题问得很好,值得认真考虑一下.首先搞清d²y/dx²的含义，如果设y=f(x),则做为一个整体的符号d²y/dx²表示f(x)的2阶导数，由dy/dx表示f(x)的1阶导数,故
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
如果将d²y/dx²看成d(dy/dx)/dx的缩写形成，估计并没有解决你的疑惑，为什么将d(df/dx)/dx写成d²y/dx²而不写成d²y/d²x或dy²/d²x呢？
正象1阶导数dy/dx一样,整体上表示了y=f(x)的1阶导数,另外它也可以看为一个通常意义下的分式,即1阶导数表示为两个微分dy与dx的比值,1阶导数是两个变元微分的比，d表示函数微分的符号,dy表示函数的微分,一个函数的微分定义为它的1阶导数乘以自变元的改变量,如果y=f(x),x是自变元，则dy=f′(x)△x,x可看成其自身的函数,此时dx=△x,则有dy=f′(x)dx,这样用dy/dx表示1阶导数f′(x)是方便的,df/dx可做为分数进行运算,并具有所谓的微分的不变性,如果x不是自变元,它又是t的函数x=g(t),则dx=g′(t)dt,此时
dy/dx=( f′(x)dx)/dx=( f′(x)g′(t)dt)/ (g′(t)dt)= f′(x)，
dy/dt= (dy/dx)×(dx/dt)
该式左边整体上表示了y对t的导数，由求导的链式法则可知dy/dt= f′(x)g′(t),这也恰好等于右边.

现在来回答你的问题,2阶导数d²y/dx²能否象1阶导数dy/dx看成一个通常分式呢？它的分子分母是否有独立的意义？如果有独立意义,各代表什么含义,如果没有独立意义为什么要写成这种形式？下面给出肯定的回答,2阶导数d²y/dx²象1阶导数dy/dx一样其分子分母具有独立的意义,分子中的 d²y=d(dy)表示函数y的微分的微分(称为2阶微分),由微分定义d²y表示dy的导数乘以自变元的微分,dy=f′(x)dx,故
d²y=d(f′(x)dx)= (f′(x)dx) ′dx= (f″(x)dx+f′(x)(dx)′)dx
如果x是自变元,则(dx)′=0,故上式化为
d²y=d(f′(x)dx)=(f″(x)dx)dx= f″(x)(dx)2
由此得 d²y/(dx)2= f″(x)
从而可看出f″(x)=d²y/(dx)2,即y对x的2阶导数等于y的微分的微分比上x的微分的平方,即d²y/dx²中分子代表d²y=d(dy),即d²y表示函数y的微分的微分(2阶微分),分母代表dx²=(dx)2,即x微分的平方，提请注意的是dx²不表示为x2的微分,更不表示为x的微分的微分.
从上面可看出d²y/dx²表示f(x)的2阶导数并不是任意规定的，不过这种表示法仅当x是自变元时,d²y/(dx)2才表示y对x的2阶导数,当x不是自变元时,该式d²y/dx²就不等于y对x的2阶导数了，2阶导数d²y/dx²这种表示不具有所谓的微分的不变性。
例y=x3+2x+5, y的1阶导数y′=3x2+2, y的2阶导数y″=6x,
y的1阶微分dy=(3x2+2)dx,
y的2阶微分d(dy)=((3x2+2)dx)′dx=(6xdx)dx=6x(dx)2,
故d(dy)/(dx)2=6x=y″.

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d^2 y = d(dy) 表示dy的微分，也就是二阶微分。
dx^2 = (dx)^2 确实是表示微分形式dx的平方，也是一个二阶量。

d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) d(dx) = f''(x)(dx)^2 + f'(x) d(dx)
由于dx可以看作是x的增量，和x本身无关，所以d(dx)=0，这样就得到了
d^2 y = f''(x) dx^2，
也可以把二阶导数f''(x)看作d^2 y和dx^2的商。

不过要注意，二阶微分没有形式不变性，不能直接用于中间变量。

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一阶微分表示为dy/dx，dy、dx表示y和x的无穷小量，d是微分符号表示对谁进行微分运算，对一阶微分再进行一次微分：也就是d（dy/dx)/dx可以写成d/dx×dy/dx，中间那个是乘号不是x，写的再紧凑简单点就是d2y/dx2。这里的2没有幂的含义，只是表示微分阶数，一阶微分是1所以就省略了，三阶微分就写作d3y/dx3。如果是三变量，dy/dx还可以对另一变量求微分，也就是二阶偏导，写作?2y/(?x?y)，这里?就是d的意思，因为是偏导所以用这个写，读作“嚷”。不知讲明白了没有。如果还不明白建议你去借一本高等数学上册（好像是同济大学出的）看看，那里面有严格的证明和推导。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶导数y'=dy/dx,
二阶导数y'=d(dy/dx)/dx=d²y/dx²,
d²y不能写作（dy）²,dy前面还有个d,故写成d²y,dx是两次作除数，故dx².
补充：不是d(x²),这样就变成了2dx,应是（dx)².
对于偏导数，上、下是不能分离的，而对于全导数可视作上下比的关系。

热心网友 时间：2024-10-17 20:46

这只是个符号而已，要解释的话也可以的
一阶导数dy/dx也称为微商，而二阶导数则是对一阶导函数再求一次导
也就可以写为d（dy/dx）/dx，也就是我们通常用的表达d2y/dx2

当然了，也可以这样理解将一阶导数为d/dx作用于y
那么二阶导数也就是对y进行2次求导运算“d/dy”的结果

总之呢，这只是个符号，不要太纠结它~~~

热心网友 时间：2024-10-17 20:44

该问题问得很好,值得认真考虑一下.首先搞清d²y/dx²的含义，如果设y=f(x),则做为一个整体的符号d²y/dx²表示f(x)的2阶导数，由dy/dx表示f(x)的1阶导数,故
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
如果将d²y/dx²看成d(dy/dx)/dx的缩写形成，估计并没有解决你的疑惑，为什么将d(df/dx)/dx写成d²y/dx²而不写成d²y/d²x或dy²/d²x呢？
正象1阶导数dy/dx一样,整体上表示了y=f(x)的1阶导数,另外它也可以看为一个通常意义下的分式,即1阶导数表示为两个微分dy与dx的比值,1阶导数是两个变元微分的比，d表示函数微分的符号,dy表示函数的微分,一个函数的微分定义为它的1阶导数乘以自变元的改变量,如果y=f(x),x是自变元，则dy=f′(x)△x,x可看成其自身的函数,此时dx=△x,则有dy=f′(x)dx,这样用dy/dx表示1阶导数f′(x)是方便的,df/dx可做为分数进行运算,并具有所谓的微分的不变性,如果x不是自变元,它又是t的函数x=g(t),则dx=g′(t)dt,此时
dy/dx=( f′(x)dx)/dx=( f′(x)g′(t)dt)/ (g′(t)dt)= f′(x)，
dy/dt= (dy/dx)×(dx/dt)
该式左边整体上表示了y对t的导数，由求导的链式法则可知dy/dt= f′(x)g′(t),这也恰好等于右边.

现在来回答你的问题,2阶导数d²y/dx²能否象1阶导数dy/dx看成一个通常分式呢？它的分子分母是否有独立的意义？如果有独立意义,各代表什么含义,如果没有独立意义为什么要写成这种形式？下面给出肯定的回答,2阶导数d²y/dx²象1阶导数dy/dx一样其分子分母具有独立的意义,分子中的 d²y=d(dy)表示函数y的微分的微分(称为2阶微分),由微分定义d²y表示dy的导数乘以自变元的微分,dy=f′(x)dx,故
d²y=d(f′(x)dx)= (f′(x)dx) ′dx= (f″(x)dx+f′(x)(dx)′)dx
如果x是自变元,则(dx)′=0,故上式化为
d²y=d(f′(x)dx)=(f″(x)dx)dx= f″(x)(dx)2
由此得 d²y/(dx)2= f″(x)
从而可看出f″(x)=d²y/(dx)2,即y对x的2阶导数等于y的微分的微分比上x的微分的平方,即d²y/dx²中分子代表d²y=d(dy),即d²y表示函数y的微分的微分(2阶微分),分母代表dx²=(dx)2,即x微分的平方，提请注意的是dx²不表示为x2的微分,更不表示为x的微分的微分.
从上面可看出d²y/dx²表示f(x)的2阶导数并不是任意规定的，不过这种表示法仅当x是自变元时,d²y/(dx)2才表示y对x的2阶导数,当x不是自变元时,该式d²y/dx²就不等于y对x的2阶导数了，2阶导数d²y/dx²这种表示不具有所谓的微分的不变性。
例y=x3+2x+5, y的1阶导数y′=3x2+2, y的2阶导数y″=6x,
y的1阶微分dy=(3x2+2)dx,
y的2阶微分d(dy)=((3x2+2)dx)′dx=(6xdx)dx=6x(dx)2,
故d(dy)/(dx)2=6x=y″.

http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/9e89ad0669b6e8de7a894766.html?timeStamp=1295500128718

参考资料：数学分析原理第一第一分册183

热心网友 时间：2024-10-17 20:44

d^2 y = d(dy) 表示dy的微分，也就是二阶微分。
dx^2 = (dx)^2 确实是表示微分形式dx的平方，也是一个二阶量。

d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) d(dx) = f''(x)(dx)^2 + f'(x) d(dx)
由于dx可以看作是x的增量，和x本身无关，所以d(dx)=0，这样就得到了
d^2 y = f''(x) dx^2，
也可以把二阶导数f''(x)看作d^2 y和dx^2的商。

不过要注意，二阶微分没有形式不变性，不能直接用于中间变量。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶微分表示为dy/dx，dy、dx表示y和x的无穷小量，d是微分符号表示对谁进行微分运算，对一阶微分再进行一次微分：也就是d（dy/dx)/dx可以写成d/dx×dy/dx，中间那个是乘号不是x，写的再紧凑简单点就是d2y/dx2。这里的2没有幂的含义，只是表示微分阶数，一阶微分是1所以就省略了，三阶微分就写作d3y/dx3。如果是三变量，dy/dx还可以对另一变量求微分，也就是二阶偏导，写作?2y/(?x?y)，这里?就是d的意思，因为是偏导所以用这个写，读作“嚷”。不知讲明白了没有。如果还不明白建议你去借一本高等数学上册（好像是同济大学出的）看看，那里面有严格的证明和推导。

热心网友 时间：2024-10-17 20:45

一阶导数y'=dy/dx,
二阶导数y'=d(dy/dx)/dx=d²y/dx²,
d²y不能写作（dy）²,dy前面还有个d,故写成d²y,dx是两次作除数，故dx².
补充：不是d(x²),这样就变成了2dx,应是（dx)².
对于偏导数，上、下是不能分离的，而对于全导数可视作上下比的关系。

热心网友 时间：2024-10-17 20:46

这只是个符号而已，要解释的话也可以的
一阶导数dy/dx也称为微商，而二阶导数则是对一阶导函数再求一次导
也就可以写为d（dy/dx）/dx，也就是我们通常用的表达d2y/dx2

当然了，也可以这样理解将一阶导数为d/dx作用于y
那么二阶导数也就是对y进行2次求导运算“d/dy”的结果

总之呢，这只是个符号，不要太纠结它~~~