微分方程问题 求(y^2-6x)y'=2y=0 的通解
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发布时间：2024-10-12 06:11
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时间：2024-11-03 22:29
==>(y^2-6x)y'=-2y
==>(y^2-6x)dy/dx=-2y
==>dx/dy=(y^2-6x)/(-2y)
==>dx/dy=3x/y-y/2
==>dx/dy-3x/y=-y/2
∴先解齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解
∵dx/dy-3x/y=0
==>dx/dy=3x/y
==>dx/x=3dy/y
==>ln|x|=3ln|y|+ln|C|
(C是积分常数)
==>x=Cy³
∴齐次方程dx/dy-3x/y=0的通解是x=Cy³
(C是积分常数)
于是，应用“常数变易法”，设原微分方程的通解为x=uy³
(u是关于y的函数)
∵dx/dy=y³/dy+3uy²
∴把它代入dx/dy-3x/y=-y/2
得y³/dy+3uy²-3uy³/y=-y/2
==>y³/dy+3uy²-3uy²=-y/2
==>y³/dy=-y/2
==>y²/dy=-1/2
==>=-dy/(2y²)
==>u=1/(2y)+C
(C是积分常数)
把u=1/(2y)+C代入x=uy³，得x=[1/(2y)+C]y³=y²/2+Cy³
故原微分方程的通解是x=y²/2+Cy³
(C是积分常数)。
