有限群的幂零群

发布网友发布时间：2022-05-09 18:08

共1个回答

热心网友时间：2023-10-11 23:06

当可解群 G的西洛基中诸西洛子群都是正规子群时，则可解群G称为幂零群。幂零群是可解群中的一个子类。有限群G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。p群自身当然是幂零群。除公式
了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所谓上中心列，是指G有长为m的子群列，使，且其中 Z1(G）为 G 的中心Z(G），而递归地给出Zk+1(G）使Zk+1(G)/Zk(G）是商群G/Zk(G）的中心。由G的限性可知，必有某自然数k使，因此当m≥k时，恒有Zm(G)=Zk(G）。特别地，有某m使Zm(G)=G。所谓下中心列，是指G有长为n的子群列。设H、K是G的任意两个子集，【H,K】表示由形如的元素所生成的G的子群，即【H,K】=<；【h,k】│h∈H，k∈K>；，于是【H,K】=【K,H】。当【x1，…，xn】定义后，再递归地定义。同样，对G的子集H1，…，Hn也作公式
类似的定义，且当任意xi∈G(i=1,2，…，n）时，则定义，因此，且。易知。从G的有限性可知，有某自然数k使。因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G）。特别地，有自然数 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等，此时G必为幂零群，称为n类幂零群。因而，1类幂零群就是交换群。由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。所谓换位群列，是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。此时G也称为n步可解群。1步可解群就是交换群。