证明p-群一定有一个p阶子群

发布网友发布时间：2022-05-09 18:08

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热心网友时间：2023-10-11 23:06

设G为p-群，|G|=p^n。任取G中的非单位元a，它的阶整除|G|=p^n，所以存在1<=k<=n使得a的阶为p^k。令b=a^(p^(k-1))，则b的阶为p，所以G中b生成的循环子群的阶为p

一般地：p-群都是幂零群，所以都是可解群，所以对任意0<=i<=n，G中有阶为p^i的子群；此结论加上Sylow定理可以得到对任意有限群H（未必为p-群）和p^i整除|H|，H中有阶为p^i的子群

热心网友时间：2023-10-11 23:07

设G为p-群，|G|=p^n。任取G中的非单位元a，它的阶整除|G|=p^n，所以存在1<=k<=n使得a的阶为p^k。令b=a^(p^(k-1))，则b的阶为p，所以G中b生成的循环子群的阶为p
一般地：p-群都是幂零群，所以都是可解群，所以对任意0<=i<=n，G中有阶为p^i的子群；此结论加上Sylow定理可以得到对任意有限群H（未必为p-群）和p^i整除|H|，H中有阶为p^i的子群