...baidu.com/question/137965335.html没看懂 QQ:289988316
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发布时间：2024-09-28 13:11
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时间：2024-10-12 18:28
关于引理。比如说因为有3^2+4^2=5^2，所以就有(3/4)^2+1=(5/4)^2
即(3n/4)^2+n^2=(5n/4)^2，这是如果n可以使得上式中的三项均为整数（即4|n），那么这三项就都是完全平方数。依题意(3n/4)^2和n^2这两个完全平方数就必须异组。
如果对于互素的有序正整数对(p,q)，有p^2+q^2为完全平方数，那么我们不妨称k=p/q为一个勾股比。上述引理可叙述为，对相应因子足够多的正整数n，有n^2和(kn)^2异组，其中k为勾股比。
应用两次引理1可得引理2，即n^2和n与两个勾股比（可相同）的乘积的平方(k1k2n)^2同组。
举个例子，比如n=16，16^2=256是完全平方数，且4|16
故有((3/4)*16)^2=12^2不能与16^2同组，否则有16^2+12^2=20^2，
而((3/4)*(3/4)*16)^2=9^2须与((3/4)*16)^2=12^2异组，否则有12^2+9^2=15^2，故可推得9^2与原先的16^2同组。
这道题显然是要自己构造反例的，我当时在构造的时候犯了个低级错误，其实20/9不是勾股比，应当是40/9才是。当然这并不影响我们证明。这里有一条更简洁的路。
我们这里提到的n含有足够多的素因子2、3、5。并且为了叙述方便，我们直接对正整数进行分组，m和n同组实际上表示m^2和n^2被分在了同一组。
为了便于操作，我想先找到n的一个整数倍和n同组。经过简单的配凑，有
n*(3/4)*(12/5)*(40/9)=8n，因为乘了奇数个勾股比，所以8n与n异组。
n*(3/4)^4*(12/5)*(40/9)^2=15n，因为乘了奇数个勾股比，所以与n异组，即与8n同组。
于是就有(8n)^2+(15n)^2=(17n)^2
上面一大串的式子当然不是直接看出来的，之所以要先得到n的一个整数倍，就是为了方便自己配凑找矛盾。
我自己找的过程其实是
8n异组
64n同组
48n异组
20n同组
15n异组
可以看出，找到一个整数倍以后，我就一直只验证n的整数倍是同组还是异组了，而且是推一步记录一次，是同还是异一目了然，再加上有意识地想去造出15n，所以很快就出来了。但是真正写下来时，还是把不需要的省略掉比较清楚。
因为前面我在选择勾股比的时候有意识地只选择含因子2、3、5的，所以配凑就很简单了。（因子多了就不会做了，反正构造出就行了，有的时候把不会用的条件（本题中的“所有完全平方数”）弱化，会有助于更好地利用条件。）
