通俗易懂:排列组合
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发布时间：2024-09-28 17:49
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时间：2024-10-09 18:40
完成一件事的方法，有n类方案，第一类方案中有m1种方法，第二类方案中有m2种方法，第n类方案中有mn种方法，则完成这件事的总方法数：m1+m2+···mn。分类加法又叫做：完成一件事不同方案的枚举法，一一列举时要求：有顺序地、不重复、不遗漏。
完成报考志愿填写，依据分数得知可以填报的学校共有100所，则完成报考志愿填写，有100种不同的方案，填写这100所内的每所学校，都能完成报考志愿填写这件事。
完成一件事的方法，需要有顺序地完成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，完成第n个步骤有mn种不同的方法，则完成这件事的方法种数：m1×m2···×mn。
填写时要求：第1志愿填1所，第2志愿填1所，要求第1志愿和第2志愿学校不相同。分数符合录取要求的学校共有10所，即第1志愿填写时有10所学校可选，即10种选择，填完第1志愿后，第2志愿填写时剩9所。则完成第1、2志愿愿填写这件事，共有10×9=90种不同的方案。
从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。这样的全部的排列个数，叫做排列数，写做：[公式]。
第1个人选时有3个座位，第2个人选时剩2个座位，则2个人分步完成选成选座位这件事，共有3×2=6种不同的方案。
第1个座位选人时有3人可选，第2个座位选人时剩2人可选，则2个座位分步完成选人这件事，共有3×2=6种不同的方案。
3个人里不重复地选出2个人为一组，得到3组，每组对2个座位进行分步选择，即每组内第一个人选座时有2种选择，第二个人选座时剩1种选择。则3个人里不重复地选出2个人为一组，再分步选择2个座位的方法总数：3×2=6种不同的方案。
从n个不同元素中，不重复地选出m个元素的一个组合，这样的组合的总数叫做组合数，写做：[公式]。
从3个不同的元素中，不重复地选出2个元素成为一组，这样元素不同的小组共有3种。以ABC为例，从中不重复地选出2个元素成为一组，这样元素不重复的小组，枚举得出：(A,B)，(A,C)，(B,C)共3种。
从3个不同的元素中，不重复地选出2个元素成为一组，剩余的元素自动成为一组，则这样剩余的不同元素的小组共有3种。以ABC为例，[选出的元素组(A,B)，剩余的元素小组(C)]，[选出的元素组(A,C)，剩余的元素小组(B)]，[选出的元素组(B,C)，剩余的元素小组(D)]，所以 [公式]。
从3个不同的元素中，分步选出第一个元素、第二个元素，因为一个组合内的位置是无序的（都是相同的座位，谁坐第1个，谁坐第2个，没有区别），所以需要剔除掉，元素相同仅元素顺序不同的组合（即重复出现的组合），所以 [公式]。
排列，n个不同元素中选出m个元素的一个排列，每个元素所在的位置是不同的。如ABC选出2个元素AB，则AB和BA是两种方案。所以排列的性质为：一个排列的内部，每个元素的地位都是不等的，也就是内部要讲秩序。
组合，n个不同元素中选出m个元素的一个组合，每个元素所在的位置是相同的。如ABC选出2个元素AB，则AB和BA是一种方案。所以组合的性质为：一个组合的内部，每个元素的地位都是相等的，也就是内部不讲秩序。
3个人(ABC)，分成2个小组，第一个小组1人，第二个小组2人，不同的分组方案有多少个？列举法：共有3种不同的分组方案。
3个人(ABC)，分成2个小组，平均分成2组，不同的分组方案有多少个？列举法：共有3种不同分组方案。
4个人(ABCD)，其中去上海1人，去北京3人，不同的分配方案有多少个？第1种解题思路：分步乘法。第2种解题思路：先分组+再分配。公式计算：[公式]。
4个人(ABCD)，平均分给北京和上海，不同的分配方案有多少个？第一步先分组，分成2组2人，则分成3种不同的分组方案：[(AB),(CD)]，[(AC),(BD)]，[(AD),(BC)]。第二步再分配：每组方案都有2个城市可以选择。所以答案是：3×2=6种不同的分配方案。
4个人(ABCD)分成2组，分别去北京和上海，不同的分配方案有多少个？第一种方案：第1步分组有4种不同的方案：[(A),(BCD)]，[(B),(ACD)]，[(C),(ABD)]，[(D),(ABC)]。第一种方案：第2步分配去北京和上海：每个小组都有2种选择。第一种答案：4×2=8种不同的分配方案。第二种方案：第1步分组有3种不同的方案：[(AB),(CD)]，[(AC),(BD)]，[(AD),(BC)]。第二种方案：第2步分配去北京和上海：每个小组都有2种选择。第二种答案：3×2=6种不同的分配方案。分类相加：8+6=14，即共有14种不同的分配方案。
ABCD分别去苏州、扬州、杭州、上海4个城市，其中A不能去上海，B必须去扬州。策略：AB有特殊要求，先安排A或B。第一步：B必须去扬州，则B只有1种选择。第二步：A不能去上海，只能在苏州、杭州中2选1，则有2种选择。第三步：C在剩余2个城市中2选1，则有2种选择。第四步：D在剩余1个城市中选，则只有1种选择。分步乘法：1×2×2×1=4种不同的方案。
ABCDE站成一排，要求AB站在一起，且A要站首位，有多少种不同的排法？第一步：A站首位，则B只能站第二位，所以AB捆在一起只有1种排法。第二步：CED在剩余3个位置里排[公式]。答案：分步相乘[公式]。
ABCDE站在一排，要求AB不相邻，且E不在最后一位，有多少种不同的排法？第一步：把AB丢一边，先排E，要求不在最后一位，则E在CDE的3个位置中有2个位置可选。第二步：ED在剩余2个位置选，即[公式]。答案：分步乘法[公式]。
AABDC，5个人站一排，要求A在B的前面，且B不在最后一位，有多少种排法？第一步：AAB先选座，选完就定序了不用再排列，AAB在前面4个位置里选3个即[公式]。第二步：CD选座和排列[公式]。答案：分步相乘4×2=8种。
AAAA放到2个不同的盒子里，每个盒子至少一个球。分类枚举法：AAAA代表相同的元素，两个不同的盒子代表两个不同的位置，每个盒子至少一个球表示可以有如下几种分配方案：(1,3)(3,1)(2,2)，所以共有3种不同的分配方案。挡板法：A_A_A_A，共有3个空隙，要分成2份，所以从3个缝隙里任取1个缝隙即可，即[公式]。
有多少组不同的解？分类枚举法：0+0+5=5，0+1+4=5，0+2+3=5....挡板法思路：[公式] 看做是3个不同的盒子，把5等分成5个1这样相同的元素。第一步：[公式] ，两边各借3，等式依然成立。第二步：把8分成8个1，即11111111，这样8个相同的元素。第三步：数一数8个1之间的空隙，共有7个：1_1_1_1_1_1_1_1。第四步：3个盒子，即要插2个板，将8个1分成3份，每份进一个盒子。答案：[公式]。
有3封不同的信要从3个邮箱里发出，有多少种不同的发法？第一步：第1封信有3种不同的选择。第二步：第2封信有3种不同的选择。第三步：第3封信有3种不同的选择。答案：3×3×3=27种。
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