线性映射自同态和自同构

发布网友发布时间：2024-09-27 17:04

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热心网友时间：2024-11-19 02:55

当一个线性变换 f 作用于向量空间 V 并将其映射回自身时，我们称其为 V 的自同态，也称为 endomorphism。集合 End(V) 包含所有这样的自同态，它具备特殊的结构，即加法、复合和标量乘法，形成一个结合代数。在这个代数中，有一个特别的单位元，即恒等映射 id: V→V，它代表着乘法的单位。

自同构，本质上是 V 的自同态的一种特殊形式，它们的复合仍然保持为自同构。所有 V 的自同构构成一个群，通常表示为 Aut(V) 或 GL(V)。这个群的特点是其成员在复合操作下具有逆元，因此 Aut(V) 是 End(V) 中可逆元素的集合。

当 V 的维度是有限的，比如 n，那么 End(V) 与所有 n×n 矩阵的结合代数同构，这些矩阵的元素来自域 K。而 V 的自同构群 Aut(V) 或 GL(n, K) 则与所有 n×n 可逆矩阵的集合有着相同的结构，它们代表了一般线性群的特性，即线性变换的逆操作。