随机过程|笔记整理(D)——鞅的极限性质的应用,布朗运动概述

发布网友 发布时间：2024-09-28 02:08

我来回答

共1个回答

热心网友 时间：2024-10-01 15:28

上一节笔记：

我们结束上一节关于鞅的极限性质的一个应用，然后正式开始介绍布朗运动（Brownian Motion）的相关概念。布朗运动在随机微分方程（Stochastic Differential Equations，SDE）内是一个非常重要且前置的内容。我们对布朗运动的介绍更像是一个概述，在不重要的细节上会略有跳过。

接下来，让我们开始介绍布朗运动的概览。

波利亚之瓮（Polya's Urn）的例子，与概率论中的波利亚球的例子同源。这里的重点在于鞅的例子。波利亚之瓮中，初始有[公式]个球，其中包含红球与蓝球，保证至少有1个红球和1个蓝球。每次从瓮中等概率抽取一个球，放回后再放入与抽取的球同色的球，使得总数增加到[公式]个。设[公式]为红球占比，讨论极限情况下[公式]的分布情况。

首先，验证[公式]是一个鞅。通过计算[公式]，考虑到抽取红球和蓝球的概率，我们可以看出它是鞅的定义满足的。若极限不存在，这个问题站不住脚，因为我们关注的是“极限情况下”的[公式]表现。

欢迎来到现实世界！现实世界充满了随机性与不确定性，而布朗运动（Brownian Motion）便是描述这类现象的数学模型之一。它在物理学、经济学、金融学等领域有广泛的应用。下面我们来简单介绍布朗运动的定义与一些基本性质。

布朗运动是一个连续时间过程，严格定义如下：如果[公式]满足条件（1）[公式]，（2）具备独立增量，（3）具备平稳增量，则称其为方差为[公式]的布朗运动。如果[公式]，则称为标准布朗运动。

可以看出，布朗运动与泊松过程有相似之处，区别在于离散与连续。它也可以被理解为一个马尔科夫链。

此外，布朗运动还具有连续时间鞅的性质，即[公式]。

布朗运动与正态分布的关系紧密，这使得联合概率与条件概率的概念变得尤为重要。多元布朗运动的性质可以归纳如下：

假设[公式]是多元布朗运动，那么它是一个多元正态分布，其概率密度为[公式]，均值为0，[公式]。

通过独立性与增量的性质，我们可以推导出联合概率密度函数的分量独立性。进一步地，我们可以计算出条件概率，例如对于[公式]，其均值为[公式]，从而可以通过裂项方法求解。

接下来，我们来探讨布朗运动的一些性质，包括连续性、变差性质以及伸缩变换。例如，布朗运动在任意时间点的连续性，以及其二阶变差有限、一阶变差无限的特性。

这部分关注布朗运动的移动范围与零点特性。例如，布朗运动的最大值对应概率的计算，以及零点出现的最晚时刻的概率。

最后，我们讨论布朗运动的离出分布与离出时间，包括布朗运动到达特定值的时间分布与到达无穷状态的可能性。

本文主要介绍了布朗运动的基本概念、性质以及其在随机过程中的应用。通过鞅的极限性质的应用，我们了解到波利亚之瓮的例子，并对布朗运动的定义、分析性质、概率性质和数量性质进行了概述。未来，我们将进一步探讨布朗运动的常返性，并通过习题课帮助大家更好地理解和掌握之前介绍的内容。