坐标转换(二):踩坑后总结的经验——左右手坐标系的平移、旋转变换

发布网友发布时间：2024-09-27 18:26

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热心网友时间：2024-10-16 16:55

坐标转换（二）：左右手坐标系的平移、旋转变换

文章的开头，先讲讲坐标系的平移变换，平移变换的过程如下图所示：

假设点P是空间中的任意一点，其在XYZ坐标系中的坐标为(x, y, z)。现在点P不动，我们将XYZ坐标系做一个平移的操作，把XYZ平移到X´Y´Z´的位置，O´是平移后的坐标的原点，要注意的是，O´在XYZ中的坐标为(x0, y0, z0)。点P在XYZ坐标系中的坐标为(x, y, z)，点P在平移后的坐标系X´Y´Z´中的坐标为(x´, y´, z´)。根据上面这个示意图，我们可以求解出点P在X´Y´Z´坐标系中的坐标为：

x´ = x + x0
y´ = y + y0
z´ = z + z0

把上面的式子转换成矩阵的形式就是：

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & 0 & y_0 \\ 0 & 0 & 1 & z_0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]

这就是三维空间直角坐标系的平移变换了，左手坐标系和右手坐标系的平移变换公式是一样的。

接下来，我们看看三维空间直角坐标系的旋转变换。小D在研究旋转变换时，只推导了右手坐标系的旋转变换。有一次看到一篇文献，它用的是左手坐标系，这引发了小D对文献中给出的公式的正确性产生疑问。因此，小D又把左手坐标系的旋转矩阵推导了一遍。

公式推完之后，小D发现左手坐标系和右手坐标系的旋转矩阵是一样的。下面是左手坐标系和右手坐标系旋转矩阵的推导过程。

右手坐标系的旋转过程有三个，分别是绕X,Y,Z轴旋转。右手坐标系在旋转时，通常规定以逆时针旋转方向为正方向。

对于XYZ右手坐标系绕X轴逆时针旋转θ角，旋转矩阵Rx(θ)为：

\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \]

绕Y轴逆时针旋转θ角的旋转矩阵Ry(θ)为：

\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{bmatrix} \]

绕Z轴逆时针旋转θ角的旋转矩阵Rz(θ)为：

\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

左手坐标系的旋转过程也是三个，分别是绕X,Y,Z轴旋转。左手坐标系在旋转时，通常规定以顺时针旋转方向为正方向。

对于XYZ左手坐标系绕X轴顺时针旋转θ角，旋转矩阵Rx(θ)为：

\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \]

绕Y轴顺时针旋转θ角的旋转矩阵Ry(θ)为：

\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{bmatrix} \]

绕Z轴顺时针旋转θ角的旋转矩阵Rz(θ)为：

\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

旋转矩阵的运用：在实际中，我们需要推导两个不同的坐标系之间的变换关系时，如地心地固坐标系和ENU坐标系、ENU坐标系和机体坐标系、机体坐标系和天线阵面坐标系、ENU坐标系和天线阵面坐标系之间的变换关系，就要用到这些旋转矩阵。一般的方法是，根据实际的旋转过程，按旋转的先后顺序计算旋转矩阵。

实际运用中，小D总结的经验是：不管是左手坐标系还是右手坐标系，绕X轴逆时针旋转θ角，相当于绕X轴顺时针旋转2π-θ角，同时也相当于绕X轴顺时针旋转-θ角。

旋转矩阵的性质：旋转矩阵的逆和它的转置是相等的，因此如果你要求旋转矩阵的逆矩阵，可以直接对它求转置。

小D验证了自己推导的平移变换和旋转矩阵的正确性。对比左手坐标系和右手坐标系的旋转矩阵可以发现，二者是一样的，需要注意的是，左手坐标系的顺时针旋转为正，右手坐标系逆时针旋转为正。

小D还提供了相关书籍的PDF下载地址。

参考资料：

[1] 何友, 修建娟等, 雷达数据处理及应用[M]. 北京, 电子工业出版社, 2013, 87-89

[2] Michael E. Mortenson,Geometric Transformations for 3D Modeling[M]. New York, Instrial Press Inc, 2009, 161-168