...mxn矩,并且r(A)=n,又B为n阶矩阵,求证 1.如果AB=O,则B=O 2.如果AB...

(1)由A为mxn矩阵,并且r（A）=n,线性方程组AX=0 只有零解再由 AB=0 知B的列向量都是 AX=0 的解,所以 B=0(2)因为 AB=A,所以 A(B-E)=0由(1)知 B-E=0故 B=E.

即n≥r(A)+r= r(A)+r(B),4,

又若 B'A'α=0 则 B'(A'α)=0 由于r(B')=r(B)=n 所以 B'X=0 只有零解 所以 A'α=0 所以 B'A'X=0 的解也是 A'X=0 的解 所以 A'X=0 与 B'A'X=0 同解 所以 r(A)=r(A')=r(B'A')=r((AB)')=r(AB).注:A' 表示 A 的转置 ...

【答案】：A 解：选A。由于AB=0，得到r(A)十rB.≤n，又由于A, B都是非零矩阵，则r(A) > 0，rB. > 0，得r(A) ＜n，rB. ＜n，因此a的列向量组钱性相关，b的行向量组线性相关。

的解是 B'A'=0 的解 又若 B'A'α=0 则 B'(A'α)=0 由于r(B')=r(B)=n 所以 B'X=0 只有零解 所以 A'α=0 所以 B'A'X=0 的解也是 A'X=0 的解 所以 A'X=0 与 B'A'X=0 同解 所以 r(A)=r(A')=r(B'A')=r((AB)')=r(AB).注: A' 表示 A 的转置 ...

所以 r(AB)<=n<m,而AB是m阶方阵，所以AB不满秩 所以ABX有非0解 例如：设r(ab)=r，则线性方程组abx=0的基础解系中含有s-r个解向量，又线性方程组abx=0与bx=0同解，所以线性方程组bx=0的基础解系中也含有s-r个解向量，所以r(b)=s-(s-r)=r 即r(ab)=r(b)反之，若r(ab)=r(...

设r(A)=a，则可分解A=Pdiag(T,O1)Q，其中T为aXa的对角阵 P,Q分别为m阶和n阶可逆方阵，O1为(m-a)X(n-a)的零矩阵 令B=Q^(-1)diag(O2,S)，其中O2为aX(m-n+a)的零矩阵 S为(n-a)X(n-a)的对角阵，则r(B)=r(S)=n-a ∴AB=Pdiag(T,O1)QQ^(-1)diag(O2,S)=Pdiag(T...

证明: 必要性.因为 存在一个非零矩阵B，使得AB=O 所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量 所以AX=0有非零解 所以 |A| = 0.充分性.因为 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs 令 B=(b1,...,bs)则有 AB = 0.

关系： r(A)+r(B)<=n；推导过程如下：设AB = 0, A是mxn, B是nxs 矩阵；则 B 的列向量都是 AX=0的秩；所以 r(B)<=n-r(A)；所以 r(A)+r(B)<=n。

两个矩阵的乘积为零矩阵，那么这两个矩阵的秩之间关系： r(A)+r(B)<=n。推导过程如下：设AB = 0，A是mxn，B是nxs 矩阵 则 B 的列向量都是 AX=0的秩 所以 r(B)<=n-r(A)所以 r(A)+r(B)<=n