#芝麻开门#设AB分别为mXn,nXt的矩阵,求证若r(B)=n 则rAB=r(A)

由于 rB)=r(B^T)=n 所以 B^Tx=0 只有零解 所以 A^Tx0 = 0 所以 x0 也是 A^Tx=0 的解.故两个齐次线性方程组同解 所以它们系数矩阵的秩相等 即 r (B^TA^T) = r(A^T)从而 r(AB)=r(A).

又若 B'A'α=0 则 B'(A'α)=0 由于r(B')=r(B)=n 所以 B'X=0 只有零解 所以 A'α=0 所以 B'A'X=0 的解也是 A'X=0 的解 所以 A'X=0 与 B'A'X=0 同解 所以 r(A)=r(A')=r(B'A')=r((AB)')=r(AB).注:A' 表示 A 的转置 ...

又若 B'A'α=0 则 B'(A'α)=0 由于r(B')=r(B)=n 所以 B'X=0 只有零解 所以 A'α=0 所以 B'A'X=0 的解也是 A'X=0 的解 所以 A'X=0 与 B'A'X=0 同解 所以 r(A)=r(A')=r(B'A')=r((AB)')=r(AB).注: A' 表示 A 的转置 ...

（1）若A为mxn矩阵，B为mxq矩阵，将A，B拼接在一起的矩阵的秩记为r(A,B),则有：max{r(A),r(B)}<=r(A,B)<=r(A)+r(B)。(2)若A,B均为mxn矩阵，则：r(A+B)<=r(A)+r(B)。（3）若A为mxn矩阵，B为nxs矩阵，则：r(A)+r(B)-n<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}。(4)...

关系： r(A)+r(B)<=n；推导过程如下：设AB = 0, A是mxn, B是nxs 矩阵；则 B 的列向量都是 AX=0的秩；所以 r(B)<=n-r(A)；所以 r(A)+r(B)<=n。

因为矩阵的秩等于m，即等于矩阵的行数，所以矩阵经过初等行变换化为行最简形必有m个非零行，每个非零行的第一个非零元为1，而这个非零元的其余元素都为0。这时，适当交换列的位置，把这些列全部交换到前m列，则前m列就是一个n阶的单位矩阵，再利用这些列，对矩阵进行初等列变换，就可以将后n-...

矩阵A 是mXn矩阵，B是nXt 矩阵就行，这时 r(AB)<=min{r(A),r(B)}.当A可逆时，必有r(AB)=r(B).这里的矩阵A必须是nXn方阵.

r = rank(A);s = rank([A C]);if r==s X = A\C; %此时方程组有解.else error('所给方程无解')end

1)只有R(A)=R(A,b)时AX=b才有唯一解 而AX=0只有零解只能说明R(A)=n 但如果矩阵A是mXn的矩阵，其中m>n时，R(A)=n,而R(A,b)=n+1是可能出现的 2)我们可以设α，β是AX=b的两个不同的解 则Aα=b,Aβ=b 两式相减得A(α-β)=b-b=0 所以α-β是AX=0的一个非零解 那么...

non-singular matrix）: 设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件 ...