金融数据与时间序列分析专题8:Heteroskedasticity time series models...
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发布时间：2024-09-07 10:05
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时间：2024-11-19 21:45
在研究时间序列时，我们通常假设误差项为同方差性。然而，在商业和经济学中，时间序列往往表现出异方差性。例如，股票回报这类金融时间序列，常展现出波动性在不同时期有高有低的特征，即所谓的波动聚类现象。
研究异方差性时，我们以汇率数据为例，使用ARIMA模型拟合后的残差。我们发现残差本身没有关联性，但其平方项之间存在关联性。进行Box测试检测白噪音，结果显示无论是残差自身还是其平方，都拒绝白噪声的原假设。
异方差性的定义涉及条件方差的变动。非独立的时间序列之间可能包含更高阶的信息。我们可以通过自相关函数(ACF)对Y和f(Y)进行检验来判断这一点。异方差模型通过放松时间序列条件方差恒定的假设，来拟合非线性时间序列。
数学上，异方差模型的一般形式为：
\[
\sigma_t^2 = \alpha + \beta \cdot Y_{t-1}^2 + \gamma \cdot \sigma_{t-1}^2
\]
这里\(\sigma\)可以是确定的，也可以是随机的，波动率可以聚集，也可以固定在一个区间内，或是随时间连续变化。
在数据处理中，我们首先使用一般的时间序列模型求出残差，然后对这个残差进行对数处理，使用非参数方法估计出\(\log(\sigma^2)\)。非参数回归是一种回归分析方法，它不假设预测因子的固定形式，而是根据数据推导出模型结构。这种方法需要较大的样本量以提供模型估计。
波动率的估计对于风险管理、期权定价、交易证券（如VIX）等方面至关重要。接下来，我们介绍ARCH模型。
ARCH模型由Engle于1982年引入，用于描述通胀率序列中的时间变化的波动性。其扩展GARCH模型由Bollerslev于1986年提出。ARCH模型本质上是ARMA模型在条件方差上的翻版，假设条件方差随过去观测值变化。通过模拟一个ARCH(1)模型：
\[
\sigma_t^2 = \alpha + \beta \cdot Y_{t-1}^2
\]
我们发现模型包含白噪声特征，且方差参数\(\sigma\)为10。
