MIT- 线性代数 - 特征值, 特征向量
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发布时间：2024-09-06 11:32
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时间：2024-12-06 14:32
特征值，也称为eigenvalue，表示一个矩阵乘以一个非零向量后，该向量不会改变方向，只会改变长度。用数学表达式表示为：Ax=λx，其中λ是特征值，x是特征向量。
特征向量，也称为eigenvector，是指一个非零向量，当它被矩阵乘以时，它的方向不会改变。特征向量与特征值是相互关联的。
在特殊情况下，如果特征值为0，则对应的特征向量位于矩阵A的零空间中。这意味着如果矩阵A是奇异的（不满秩，存在线性相关的行或列向量，或者存在Ax=0），则零空间不仅包含零向量，还存在非零特征向量。
要找到特征值和特征向量，不能使用传统的消元法，因为Ax=b的方程没有解。相反，我们需要解方程Ax=λx，其中x和λ是未知数。
投影的概念在这里也很重要。如果一个向量b与投影向量Pb方向不同，那么b不是特征向量。这是因为如果b是特征向量，那么它在A的空间内的投影将等于自身。
总结一下，特殊特征向量和特征值的情况包括：置换矩阵和对称矩阵的特征向量相互垂直，特征值为实数；旋转矩阵的特征值为虚数；三角矩阵的特征值为对角线元素。
在求解特征值和特征向量时，还需要注意一些特殊情况，例如退化矩阵和特征值缺失的情况。
此外，矩阵的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上，而矩阵乘法的几何意义或现实意义在于描述这种变换。
