什么是随机积分?
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发布时间：2024-08-19 16:05
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时间：2024-08-22 12:30
随机积分是随机计算领域中的核心概念，它专注于随机过程中的积分运算，由日本数学家伊藤创立。本文将逐步介绍平方可积过程和局部鞅对于布朗运动的积分定义，通过几个关键步骤进行阐述。
首先，我们从常值过程的随机积分开始。定义了一个概率空间和滤波器后，如果随机过程是可测且可积的，且满足特定条件，那么它被称为鞅。以布朗运动为基础，对平方可积的函数 [formula] 的积分定义为 [formula]，这个积分是一个起始值为 [formula] 的连续平方可积鞅。
随机积分具有伊藤等距性质，即对于常值过程 [formula] 和 [formula]，有 [formula]。对于简单过程，如分段常值过程 [formula]，其积分同样满足伊藤等距原则。
进一步扩展到更一般的过程，我们需要使用简单过程的近似和杜布不等式。平方可积过程 [formula] 可以通过简单过程 [formula] 进行逼近，引理2.1对此进行了证明。杜布不等式确保了积分的有界性，从而允许我们对映射 [formula] 进行连续线性扩展。
对于局部鞅，定义了停时序列和协方差差的概念。定理3.3表明，通过定义的随机积分，局部鞅 [formula] 可以唯一地表示为 [formula]。局部鞅的随机积分扩展了平方可积过程的积分定义，并且满足一些特定的乘积法则。
最后，对于路径有界变差的连续局部鞅，其平方变差有重要性质。伊藤过程的分解的唯一性是这个概念的关键应用，这在推论3.5中得到了展示。
参考资料如下：
Billingsley, P. (1986). Probability and Measure. Wiley.
Chung, K. L., Williams, R. J. (1990). Probability and Measure Theory.
Resnick, S. I. (1999). A Probability Path.
