已知椭圆 的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A...
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发布时间：2024-08-18 05:00
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时间：2024-08-22 16:52
EF的中点为N( ，0)，
若AB垂直于x轴，则A（1，y 1 ），B（1，-y 1 ），C（2，-y 1 ），
∴AC中点为N( ，0)，即AC过EF中点N；
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，
故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，
记A（x 1 ，y 1 ）和B（x 2 ，y 2 ），则C（2，y 2 ）且x 1 ，x 2 满足二次方程 ，
即（1+2k 2 ）x 2 -4k 2 x+2（k 2 -1）=0，
∴ ，
又x 1 2 =2-2y 1 2 ＜2，得x 1 - ≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为 ，
∴k 1 -k 2 =2k· ，
∵（x 1 -1）-（x 2 -1）（2x 1 -3）=3（x 1 +x 2 ）-2x 1 x 2 -4= ，
∴k 1 -k 2 =0，即k 1 =k 2 ，
故A、C、N三点共线；
所以，直线AC经过线段EF的中点N。
