第三章 n维向量空间(2)

发布网友发布时间：2024-08-19 23:40

共1个回答

热心网友时间：2024-08-28 11:57

上一节中，我们讨论了n维向量空间及其子空间的概念，特别是子空间的基和维数定义。一个子空间 [latex]V[/latex] 是向量空间 [latex]W[/latex] 的子集，如果它包含零向量且任意两个向量的线性组合也在其中，且存在一组向量 [latex]\{v_1, v_2, ..., v_n\}[/latex] 线性无关，并能表出 [latex]W[/latex] 中的所有向量，那么这组向量被称为 [latex]W[/latex] 的一个基，其个数即为子空间的维数 [latex]dim(V) [/latex]。

向量空间的基与向量组的极大线性无关组在概念上有所相似，但它们的使用场合不同，基是针对子空间而言的，而极大线性无关组是针对有限个向量组。理解这一点至关重要。

矩阵的秩是另一个重要概念，它与矩阵的行秩和列秩相关。矩阵的秩等于其行秩和列秩，通过初等行变换保持不变，且等于非零子式的最高阶数。矩阵的秩关系到其列向量组和行向量组的线性表示性，例如，矩阵 [latex]A \oplus B[/latex] 的列向量组可以由矩阵 [latex]A[/latex] 的列向量组线性表出。

线性方程组的解集中存在丰富的结构。对于n元线性方程组，若系数矩阵与增广矩阵秩相等则方程组有解，秩等于未知量个数时有唯一解，秩小于时有无穷多解。齐次线性方程组的解空间是向量空间，其维数可以通过解方程组得到，而非齐次线性方程组的解空间包含所有解，以及一个特解，形式上满足 [latex]S = \{x + y_0 | x \in \text{基础解系}, y_0 \text{是特解}\}$。