调和函数满足拉普拉斯方程
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发布时间：2024-08-20 13:59
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时间：2024-08-27 19:44
u
(
x
,
y
)
=
0
∂
u
/
∇
x
,
y
⋅
2
若区域包含闭圆x+y≤R，调和函数有平均值特性，即u(x,y)在圆心的值等于圆周上积分的平均值。对于任意圆内点(x, y)，调和函数u(r, φ)的值可以用泊松公式表示:
u
(
r
π
,
π
)
=
∫
∂
∂
∂
u
/
∇
r
,
π
∂
∇
∂
∂
∂
∇
2
∈
∂
∇
u
/
∇
r
π
∂
∂
∂
∇
2
∈
∂
∇
u
/
∇
π
π
∈
∂
∇
∂
∇
∇
2
∈
∂
∇
u
/
∂
π
π
∈
∂
∇
∇
∇
∇
∇
2
∈
∂
∇
u
∈
∂
∇
∇
∇
∇
∇
2
在二维调和函数中，它们与解析函数论密切相关，实部或虚部是区域内解析函数的特例。泊松公式对于这类函数有着关键作用，例如，当一个函数在闭区间上连续时，调和函数不能在区域内取到最大值或最小值，除非它是一个常数，这是调和函数的基本性质。
泊松积分是复变函数论研究的核心工具，它能够推导出函数论中的重要结论，从而解决狄利克雷问题，即在给定边界值的情况下，寻找满足拉普拉斯方程的调和函数。
