...加y方除以b方等于1(a>b>0)的离心率为根号下6除以3,短轴的一个端点...

发布网友 发布时间：2024-09-17 21:46

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热心网友 时间：2024-09-28 21:05

x^2 /a^2 +y^2/b^2=1 (a>b>0) e=根号6 /3
右焦点为F1(c,0) 短轴端点D(0,b)
F1D=根号3
F1D^2=c^2+b^2 =3
a^2-b^2 +b^2=3
a^2=3 e^2=c^2/a^2 =(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=2/3
b^2/a^2=1/3
b^2=1
所以x^2/3+y^2=1
设直线l方程为kx+y+t=0 (-1<=t<=1, -根号3<=-t/k<=根号3)
d^2 =t^2/(1+k^2)=3/4
4t^2=3+3k^2
y=-kx-t
x^2/3+k^2 x^2+2ktx+t^2=1
x^2*(1/3+k^2) +2ktx +t^2-1=0
x1+x2=-2kt/(1/3+k^2) x1*x2=(t^2-1)/(1/3+k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4k^2 t^2/(1/3+k^2)^2 -4(t^2-1)/(1/3+k^2)
=(3+3k^2)k^2/(1/3+k^2)^2 -(-1+3k^2)/(1/3+k^2)
(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2
所以AB两点的距离为 根号((x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2)
三角形AOB面积=1/2*根号((x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2) *根号3 /2

=根号3 /4 *根号((1+k^2) *[(3+3k^2)k^2/(1/3+k^2)^2 -(-1+3k^2)/(1/3+k^2)])
令m=(1+k^2) *[(3+3k^2)k^2/(1/3+k^2)^2 -(-1+3k^2)/(1/3+k^2)]
=(1+k^2)/(1/3+k^2)^2 *[3k^2+3k^4 -(1/3+k^2)(-1+3k^2)]
=(1+k^2)/(1/3+k^2)^2 *[3k^2+3k^4+1/3 +k^2-k^2-3k^4]
=(1+k^2)/(1/3+k^2)^2 *[3k^2+1/3]
=(3k^2+1/3+3k^4+k^2/3)/(1/3+k^2)^2
=(3k^4+10k^2/3+1/3)/(1/3+k^2)^2 （令k^2=r)
=(3r^2+10r/3+1/3)/(1/3+r)^2
=(9r^2+10r+1)/(1/3+2r+3r^2)
=3(9r^2+10r+1)/(9r^2+6r+1)
=3+12r/(9r^2+6r+1)
y=r/(9r^2+6r+1)
9yr^2+6yr+y-r=0
9yr^2+r(6y-1)+y=0
(6y-1)^2-36y^2>=0
36y^2-12y+1-36y^2=1-12y>=0
12y<=1
y<=1/12
由上式可以求出最大值来：3+12*1/12=4
所以三角形AOB面积最大值=根号3

热心网友 时间：2024-09-28 21:02

先给后做，苏大路过，诚信第一