...半圆内,以直径为一底边做一个内接等腰梯形,问如何作可使面积最大...

发布网友发布时间：2024-08-12 22:19

共4个回答

热心网友时间：2024-08-26 09:35

1.假设圆的方程为：x^2 + y^2 = R^2 (y >= 0)；
2.假设等腰梯形的上底与圆的交点分别为（x1,y1）和(-x1,y1)。那么梯形的面积S = (2x1 + 2R)y1/2(注：x1 >= 0, y1 >= 0).
3.又因为x1^2 + y1^2 = R^2，所以y1 = (R^2 - x1^2)^0.5。
4.易得：S = (x1 + R1)(R^2 - x1^2)^0.5
5.要使S取最大值，那么必须有：ds/dx1 = 0
又因为 ds/dx1 = (R^2 - x1^2)^0.5 + (x1 + R1)(-2x1)/[2(R^2 - x1^2)^0.5]
= (R^2 - x1^2 - x1)/(R^2 - x1^2)^0.5
所以，R^2 - x1^2 - x1 = 0，得到x1 = [-1 +(1 + 4R^2)^0.5]/2
那么，当x1 = [-1 +(1 + 4R^2)^0.5]/2时，梯形面积有最大值，
Smax = ……下面的我就不算了啊，双重根号不好敲：）

热心网友时间：2024-08-26 09:41

sinθ＝1/2 S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2

热心网友时间：2024-08-26 09:37

其实很简单既然是等腰梯形不管怎么做都是一样的面积至于多大我就不知道了

热心网友时间：2024-08-26 09:35

由于圆中两平行弦所夹的弧相等，因此梯形为等腰梯形
设上底所对的圆心角的一半为θ(θ∈(0,π/2）)，则此弦的弦心距为Rcosθ，上底为2Rsinθ
S＝1/2*（2R+2Rsinθ)*Rcosθ=R^2(1+sinθ)cosθ
然后就是求S＝f(θ)的最大值
求导，有多种求法，就用乘法的求导法则
S'＝R^2[cosθ*cosθ-(1+sinθ)sinθ]=R^2[(cosθ)^2-sinθ-(sinθ)^2]
令S'＝0，则(cosθ)^2＝sinθ+(sinθ)^2，把(cosθ)^2换成1-(sinθ)^2
2(sinθ)^2+sinθ-1=0，θ∈(0,π/2）
因此得sinθ＝1/2或-1(舍)
带入S，即得S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2

热心网友时间：2024-08-26 09:36

热心网友时间：2024-08-26 09:41

sinθ＝1/2 S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2

热心网友时间：2024-08-26 09:42

热心网友时间：2024-08-26 09:36

其实很简单既然是等腰梯形不管怎么做都是一样的面积至于多大我就不知道了