...解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数??

发布网友发布时间：2024-07-13 04:05

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热心网友时间：2024-07-22 02:00

按矩阵理论，齐次线性方程组系数矩阵的秩不大于未知数的个数，当等于未知数的个数时，不但方程个数与未知数个数相等，而且说明各方程独立，即每一个方程都不能由其他方程代替，即此时矩阵满秩。按方程组理论，解只可能有一个，这就只能是零解。当齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，说明独立的方程比未知数的个数少，即一个或几个方程可由其他方程推出或代替，这时设想某个或某几个未知数取任意的固定值，从而由其他方程解出其他未知数（使得在较小的规模下未知数的个数与方程个数相等），这意味着方程组有非零解。

热心网友时间：2024-07-22 02:05

未知数的个数也就是矩阵的列数，当矩阵的秩等于增广矩阵的秩且均小于系数矩阵的列数时，方程租有无穷多组解，自然有非零解，简单证明如下，可以把系数矩阵按列分块，为a1,a2......an,方程可化为，x1a1+......xnan=0(0是n×1的零向量），也就是若r(A)<n=未知数个数，则线性相关，ai不全为零