二次函数f(x) 满足f(x+2)=f(2-x) 恒成立,且 f(x)=0的两个实根的平方和...

发布网友 发布时间：2024-08-17 08:25

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热心网友 时间：2024-09-06 14:53

设f(x)=ax^2+bx+c

由f(x)的图象经过点(0,3)，则有：
f(0)=a*0+b*0+c=3
∴c=3…………(1)

f(x+2)=f(2-x) 恒成立，则有：
a(x+2)^2+b(x+2)+c≡a(2-x)^2+b(2-x)+c
化简，得：4ax≡-bx (对于非零的x亦成立)
∴-b/a=4………(2)

f(x)=0的两个实根的平方和为10，
由韦达公式：x1+x2=-b/a, x1*x2=c/a
∴x1^2+x^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2=16-2*3/a=10
即：a=1…………(3)

(3)代入(2)，得：
b=-4………………(4)

由(1)(3)(4)，得：
f(x)=x^2-4x+3

热心网友 时间：2024-09-06 14:53

x后面的^表示平乘方比如x^2表示X的平方。
上面的第一个式子是因为二次函数，F（X）=AX^2+BX+C
将(0,3)点坐标带入上式，带出C=3
下面的式子就是按已知得来的了，他写的挺明白的了。
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-4x1x2=10
x1+x2=-b/a x1x2=c/a
c是已知的再加上f(x+2)=f(2-x)条件，可列出关于a和b的方程来求出a和b的值。我只是写出说明，具体的算法，你看上面就成了。

热心网友 时间：2024-09-06 14:50

由f(2+x)=f(2-x)可知f（x）关于x=2对称，故可设二次函数为f（x）=a(x-2)^2+b=ax^2-4ax+4a+b
又x1+x2=-b/a=4
x1*x2=(4a+b)/a
(x1+x2)^2-2x1*x2=x1^2+x2^2=10
把点（0，3）代入函数式得4a+b=3
解得a=1,b=-1
f(x)=x^2-4x+3

热心网友 时间：2024-09-06 14:56

都可以

热心网友 时间：2024-09-06 14:50

数学都很强啊...

热心网友 时间：2024-09-06 14:57

楼上的解法正确但是不够简单
我来介绍一个
数形结合法
f(x+2)=f(2-x)可以知道函数关于x＝2对称，那么，函数式子可简化为f（x）＝a(2-x)^2+b，
又图象经过点（0，3），可知道c＝3
可知4a＋b＝3 ………………………………1式
再设半弦长为p，那么有（2＋p）^2+(2-p)^2=10 (a为长度单位，a>0)
可以求出p＝1
那么可以得出函数过（1，0）和（3，0），（0，3）三点
不用算，都可以得出a＋b＝0…………………………2式
合并一式和二式得出a＝1，b＝－1
函数式为f（x）＝（x－2）^2 -1

如果用图形画出来会直接明了，诸如此类f（a＋x）＝f（a－x）关于x＝a对称，f（x＋a）＝f（x－a）那就是t＝2a的周期函数了，平时多总结