发布网友 发布时间:2022-05-06 19:30
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热心网友 时间:2022-07-01 22:50
hermitian矩阵:厄米特矩阵(Hermitian Matrix,又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”),指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。
n阶复方阵A的对称单元互为共轭,即A的共轭转置矩阵等于它本身,则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。
Hermite(矩阵的性质):
1、对角线元素是实数
2、Hermite矩阵是实对称矩阵的推广
推论:
(1)n阶厄米特矩阵A为正定(半正定)矩阵的充要条件是A的所有特征值大于(大于等于)0。
(2)若A是n阶厄米特矩阵,其特征值对角阵为V,则存在一个酉矩阵U,使AU=UV。
(3)若A是n阶厄米特矩阵,其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。
(4)主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数, 斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。
扩展资料
矩阵 A=[aij]∈MnA=[aij]∈Mn 称为 Hermite 的,如果 A=A∗A=A∗;它是斜 Hermite 的,如果 A=−A∗A=−A∗.
对于 A,B∈MnA,B∈Mn,可得出很多简单明了的结论:
(1) A+A∗A+A∗, AA∗AA∗ 以及 A∗AA∗A 都是 Hermite 的
(2) 如果 AA 是 Hermite 的,那么对所有 k=1,2,3,⋯k=1,2,3,⋯, AkAk 都是 Hermite 的. 如果 AA 还是非奇异的,那么 A−1A−1是 Hermite 的
(3) A−A∗A−A∗ 是斜 Hermite 的
(4) 如果 AA 是 Hermite 的,那么 iAiA 是斜 Hermite 的;如果 AA 是斜 Hermite 的,那么 iAiA 是 Hermite 的
(5) 如果 A=C+iDA=C+iD, 其中 C,D∈Mn(R)C,D∈Mn(R)(AA 的实部与虚部),那么 AA 是 Hermite 的,当且仅当 CC 是对称的,且 DD 是斜对称的
(6) 实对称矩阵是复的 Hermite 矩阵
参考资料来源:百度百科—厄米特矩阵
热心网友 时间:2022-07-01 22:51
首先说下实对称矩阵: