已知函数f(x)=ax+lnx.(Ⅰ)若a=1,求f(x)在x∈[1,e]上的最大值;(Ⅱ)若...
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发布时间：2024-09-30 08:03
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时间：2024-10-05 11:03
∵x∈[1，e]∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，-----------（2分）
∴f（x）max=f（e）=e+1-----------（3分）
（Ⅱ）方法一：要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需a≤?lnxx的最小值-----------（5分）
令g(x)＝?lnxx，则g′(x)＝lnx?1x2，
g′(x)＝lnx?1x2＝0，则x=e，即g′（x）≤0对x∈[1，e]恒成立，
g(x)＝?lnxx在[1，e]上单调递减，-----------（7分）
g(x)＝?lnxx的最小值为g(e)＝?1e所以，a≤?1e．-----------（8分）
方法二：要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；-----------（5分）
当a＜0时，f′(x)＝a+1x＝ax+1x，令f′（x）=0，x＝?1a
当x＜?1a时，f′（x）＞0，当x＞?1a时，f′（x）＜0
①当?1a≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；-----------（6分）
②当?1a≥e时，即?1e≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤?1e，∴a＝?1e；
③当1＜?1a＜e时，即?1＜a＜?1e时，f（x）在[1，?1a]上单增，f（x）在[?1a，e]上单减-----------（7分）
∴f(x)max＝f(?1a)＝?1+ln(?1a)
∵1＜?1a＜e，∴0＜ln(?1a)＜1，∴f(?1a)＜0成立；
由①②③可得a≤?1e----------（8分）
（Ⅲ）：函数F（x）=ax+lnx+x2
∴F′（x）=a+1x+2x，x＞0，函数F（x）=ax+lnx+x2在区间（0，2）上有两个极值点，
则F′（x）=0在（0，2）有两个实数根，
∴a+1x+2x=0，∵1x+2x≥22，当且仅当x=22时等号成立，x=2时，1x+2x=92，x→0，1x+2x→+∞，
∴-92≤a＜?22，y=a与y=-（1x+2x）在（0，2）有两个不同交点．
故a的取值范围为：[-92，?22）
