已知向量a的模等于1,向量b的模等于1,且满足向量ka+b的模=根号3×向量...

发布网友发布时间：2024-09-29 07:13

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热心网友时间：2024-11-07 07:20

a×b=|a||b|sin<a,b>,a·b=|a||b|cos<a,b>
(1)向量ka+b的模=√(ka+b)^2=√(k^2|a|^2+2ka·b+|b|^2)
根号3×向量ka-b的模=√3*√(ka-b)^2=√3*√(k^2|a|^2-2ka·b+|b|^2)
有，k^2|a|^2+2ka·b+|b|^2=3*(k^2|a|^2-2ka·b+|b|^2)
2k^2|a|^2-8k|a||b|cos<a,b>+2|b|^2=0，k^2-4kcos<a,b>+1=0,cos<a,b>=4k/(k^2+1)
-1<=4k/(k^2+1)<=1，又k>0，得k∈(0,2-√3]∪[2+√3,+∞)
sin<a,b>=√[1-(cos<a,b>)^2]=√(k^4-14k+1)/(1+k^2)
so,a×b=|a||b|sin<a,b>=sin<a,b>=√(k^4-14k+1)/(1+k^2),k∈(0,2-√3]∪[2+√3,+∞)
(2)a·b=|a||b|cos<a,b>=cos<a,b>=4k/(k^2+1)
f(k)=4k/(k^2+1)
f'(k)=[4(k^2+1)-4k*2k]/(k^2+1)^2=4(1-k^2)/(k^2+1)^2
k<1即k∈(0,2-√3]时，f'(k)>0,递增；k>1即k∈[2+√3,+∞)时，f'(k)<0,递减；
f(k→0)=0,f(k→+∞)=0
故a·b最小值为0，cos<a,b>=0，<a,b>=π/2