Python生成正态分布随机数与均匀圆盘采样
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发布时间：2024-09-29 10:02
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时间：2024-10-14 04:55
首先，简单正方形采样方法是将x和y从[-1,1]均匀采样，然后剔除不在单位圆内的点。这种方法称为“拒接采样”或“接受-拒绝采样”。计算落在单位圆内的概率可得采样效率较低，这是拒绝采样方法的局限。
逆变换法则是利用概率分布函数的逆变换定理实现随机变量的生成。定理表明，若随机变量X，Y为向量，且服从某种概率分布，则它们的概率分布函数的反函数即为X，Y的变换，该变换可将均匀分布映射到已知的概率分布上。对于标准正态分布而言，通过特定变换，可将均匀分布转换为标准正态分布。具体公式为：
[公式]
利用逆变换法生成正态分布，即找到变换后随机变量的概率分布函数，其反函数即为所需的变换。通过求解变换后的概率分布函数及其反函数，实现从均匀分布到正态分布的转换。
Box-Muller方法是利用逆变换法生成正态分布的典型实例，其原理如下：
[公式]
此方法将两个独立的均匀分布随机数转换为正态分布的随机数。具体步骤为：
1. 生成两个独立的均匀分布随机数u1和u2。
2. 计算生成的正态分布随机数x和y：
[公式]
通过极坐标变换，可以进一步优化生成正态分布随机数的效率。这种方法的关键在于计算边缘概率分布函数，并求其反函数。
与均匀圆盘采样有何关系？均匀圆盘采样中，中心点的采样概率较高，因为该方法均匀采样半径，不同周长的采样概率相等。然而，理想情况下，采样概率应与半径成非线性关系，以提高中心区域的采样密度。
因此，为了实现单位圆的均匀采样，我们需要设计合适的变换。对于均匀分布的随机变量u1和u2，转换为单位圆上的均匀采样公式。具体步骤如下：
1. 求变换后联合概率分布函数。
2. 计算边缘概率密度分布。
3. 求逆变换以实现从均匀分布到单位圆均匀采样的转换。
综上所述，正态分布随机数与均匀圆盘采样的实现方法各有特点与局限。通过对比与优化，可以提高随机数生成的效率与准确性，满足不同统计与概率模型的需要。
