(2x-1)^2<ax^2的解集中整数恰好有3个 a的取值范围

发布网友发布时间：2024-09-30 03:00

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热心网友时间：2024-09-30 22:53

题目可以转化为f(x)=ax^2-（2x-1)^2.整理一下可得f(x)=（a-4）x^2+4x-1。依题目可知符合f(x)>0的解集中恰好含有3个整数。容易证明a>0,且f(x)=0一个解在区间（0，1/2）上。所以另一个解在区间（3,4]上。可以转化为当x=3时，f(x)>0。当x=4时，f(x)<=0。就得到了关于a的方程组。可以算出a的取值范围。答案：(25/9,49/16].

热心网友时间：2024-09-30 22:49

显然，a＝0时，不符合要求
a≠0时，考虑函数y1＝(2x－1)^2和函数y2＝ax^2：
注意到函数y1＝(2x－1)^2是开口向上，顶点坐标为(1/2，0)，对称轴为x＝1/2的抛物线
而函数y2＝ax^2则是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口方向由a确定的抛物线
当a＜0时，不符合要求
当a＞0时，由两个函数的图象知，其中一个交点的横坐标x1满足：0＜x＜1/2，因此要使不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数只能是1、2、3，从而另一个交点的横坐标x2必须满足：3＜x2≤4，即：x＝3时，y2＞y1，且x＝4时，y2≤y1
∴(2×3－1)^2＜9a，且(2×4－1)^2≥16a
解这两个不等式组成的不等式组得：25/9＜a≤49/16

(2x-1)^2&lt;ax^2的解集中整数恰好有3个 a的取值范围

(2x-1)^2<ax^2的解集中整数恰好有3个 a的取值范围